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1 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 函数与反函数 4

1.1.3 函数的运算 10

1.1.4 初等函数 11

习题1-1 13

1.2 极限 14

1.2.1 数列的极限 15

1.2.2 函数的极限 21

习题1-2 28

1.3 极限运算法则 29

习题1-3 34

1.4 极限存在准则 两个重要极限 35

习题1-4 39

1.5 无穷小与无穷大 40

习题1-5 47

1.6 函数的连续性和连续函数的性质 47

1.6.1 函数的连续性和间断点 47

1.6.2 连续函数的运算与初等函数的连续性 52

1.6.3 闭区间上连续函数的性质 55

习题1-6 57

本章小结 58

本章重要概念英文词汇 59

自我检测题1 61

复习题1 62

2 导数与微分 66

2.1 导数的概念 66

2.1.1 引例 66

2.1.2 导数的定义 70

2.1.3 导数的几何意义 73

2.1.4 利用单位解释导数 75

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 76

2.1.6 导数在自然学科中的应用实例 77

习题2-1 78

2.2 函数的求导方法 初等函数的导数 79

2.2.1 几个基本初等函数的导数公式 79

2.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则 80

2.2.3 反函数的求导法则 83

2.2.4 复合函数的求导法则 84

习题2-2 90

2.3 高阶导数 91

2.3.1 高阶导数的概念 91

2.3.2 高阶导数的四则运算及莱布尼兹公式 93

习题2-3 95

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 95

2.4.1 隐函数求导法 95

2.4.2 取对数求导法 97

2.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法 98

2.4.4 由极坐标方程所表示的函数的导数 102

习题2-4 104

2.5 相关变化率 105

习题2-5 107

2.6 微分 107

2.6.1 微分的概念 107

2.6.2 可微的充分必要条件 108

2.6.3 微分的几何意义 109

2.6.4 微分法则 110

2.6.5 微分的应用举例 113

习题2-6 117

2.7 导数在经济分析中的应用 118

2.7.1 边际分析 118

2.7.2 弹性分析 123

习题2-7 128

本章小结 129

本章重要概念英文词汇 131

自我检测题2 132

复习题2 133

3 微分学基本定理 138

3.1 微分学三个基本定理 138

3.1.1 费马（Fermat）引理 138

3.1.2 罗尔定理 139

3.1.3 拉格朗日中值定理 141

3.1.4 柯西定理 144

习题3-1 145

3.2 泰勒公式 146

习题3-2 150

本章小结 150

本章重要概念英文词汇 151

自我检测题3 151

复习题3 152

4 微分学应用 155

4.1 未定式求极限 155

4.1.1 0/0型未定式 155

4.1.2 ∞/∞型未定式 158

4.1.3 其他未定式 159

习题4-1 162

4.2 函数的单调性和极值 163

4.2.1 函数的单调性 164

4.2.2 函数的极值 166

4.2.3 最大值和最小值问题 169

习题4-2 172

4.3 曲线的凹凸性和拐点 174

习题4-3 178

4.4 函数图形的描绘 178

4.4.1 曲线的渐近线 178

4.4.2 函数图形的描绘 179

习题4-4 182

4.5 曲率 182

4.5.1 弧微分 182

4.5.2 曲率的计算公式 183

4.5.3 曲率圆 185

习题4-5 187

4.6 方程的近似解 187

4.6.1 二分法 187

4.6.2 切线法 188

习题4-6 190

4.7 函数极值在经济管理中的应用 190

4.7.1 需求分析 190

4.7.2 最低平均成本问题 192

4.7.3 存货成本最小化问题 194

4.7.4 最大利润问题 197

4.7.5 最大收益问题 199

4.7.6 最大税收问题 200

4.7.7 复利问题 200

习题4-7 202

本章小结 203

本章重要概念英文词汇 204

自我检测题4 205

复习题4 206

5 不定积分 209

5.1 不定积分的概念与性质 209

5.1.1 原函数 209

5.1.2 不定积分的概念 210

5.1.3 基本积分表 211

5.1.4 不定积分的性质 213

习题5-1 215

5.2 换元积分法 216

5.2.1 第一换元法（凑微分法） 216

5.2.2 第二换元法 220

习题5-2 223

5.3 分部积分法 224

习题5-3 228

5.4 有理函数的不定积分 229

5.4.1 有理函数的不定积分 229

5.4.2 三角函数有理式的积分 233

5.4.3 简单无理函数的积分 234

习题5-4 235

5.5 不定积分在经济领域的应用 236

习题5-5 238

本章小结 238

本章重要概念英文词汇 240

自我检测题5 240

复习题5 241

6 定积分 246

6.1 定积分的概念 246

6.1.1 引例 246

6.1.2 定积分的概念 248

习题6-1 250

6.2 定积分的性质 251

习题6-2 255

6.3 微积分基本定理 255

6.3.1 变速直线运动中路程函数与速度函数之间的关系 255

6.3.2 积分上限的函数及其导数 256

6.3.3 牛顿-莱布尼兹公式 258

习题6-3 261

6.4 定积分的换元法与分部积分法 262

6.4.1 定积分的换元法 262

6.4.2 定积分的分部积分法 266

习题6-4 268

6.5 反常积分 269

6.5.1 无穷限的反常积分 269

6.5.2 无界函数的反常积分 271

习题6-5 273

本章小结 274

本章重要概念英文词汇 276

自我检测题6 276

复习题6 277

7 定积分的应用 281

7.1 定积分的元素法 281

7.2 定积分在几何方面的应用 283

7.2.1 平面图形的面积 283

7.2.2 体积 286

7.2.3 平面曲线的弧长 288

习题7-2 290

7.3 定积分在经济学中的应用 291

7.3.1 已知总产量变化率求总产量 291

7.3.2 已知边际函数求总量函数 292

7.3.3 贴现问题 293

习题7-3 295

本章小结 295

本章重要概念英文词汇 296

自我检测题7 297

复习题7 297

8 无穷级数 302

8.1 数项级数的概念与性质 303

8.1.1 数项级数的概念 303

8.1.2 无穷级数的收敛与发散 304

8.1.3 收敛级数的性质 307

习题8-1 309

8.2 正项级数及其审敛法 310

8.2.1 正项级数的基本性质 310

8.2.2 正项级数的比较审敛法 312

8.2.3 正项级数的比值审敛法 315

8.2.4 正项级数的根值审敛法 318

习题8-2 320

8.3 任意项级数 320

8.3.1 交错级数与莱布尼兹审敛法 320

8.3.2 任意项级数的绝对值审敛法 323

习题8-3 325

8.4 幂级数 325

8.4.1 函数项级数 325

8.4.2 幂级数以及幂级数的收敛区间 326

8.4.3 幂级数的代数性质与解析性质 331

习题8-4 334

8.5 函数展开为幂级数 335

8.5.1 泰勒级数 335

8.5.2 函数展开为幂级数的方法 337

习题8-5 342

本章小结 343

本章重要概念英文词汇 344

自我检测题8 345

复习题8 345

附录 微积分学简史 348

习题参考答案 355

参考文献 375