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第7章 多元函数微分及其应用 1

第1节 多元函数的基本概念与极限 2

一、区域的概念 2

二、多元函数的概念 4

三、二元函数的极限与连续性 6

四、有界闭区域上多元连续函数的性质 9

习题7-1 10

第2节 偏导数 11

一、偏导数的定义及其计算方法 11

二、高阶偏导数 14

习题7-2 15

第3节 全微分及其应用 16

一、全微分的定义 16

二、全微分在近似计算中的应用 20

习题7-3 21

第4节 复合函数与隐函数求导法 22

一、多元复合函数的求导法则 22

二、全微分形式不变性 26

三、隐函数的求导公式 27

习题74 31

第5节 方向导数与梯度 32

一、方向导数 32

二、梯度 34

习题7-5 37

第6节 微分法在几何上的应用 37

一、空间曲线的切线与法平面 37

二、曲面的切平面与法线 39

习题7-6 41

第7节 多元函数的极值及其求法 41

一、多元函数的极值 41

二、多元函数的最大值与最小值 44

三、条件极值与拉格朗日乘数法 45

习题7-7 47

综合例题解析（七） 47

第8章 重积分 57

第1节 二重积分的概念与性质 58

一、两个实例 58

二、二重积分的概念 59

三、二重积分的性质 61

习题8-1 63

第2节 二重积分的计算 64

一、在直角坐标系下二重积分的算法 64

二、在极坐标系下二重积分的算法 70

习题8-2 75

第3节 二重积分的应用 77

一、曲面的面积 78

二、平面薄片的重心 80

三、平面薄片的转动惯量 82

四、平面薄片对质点的引力 83

习题8-3 84

第4节 三重积分的概念及计算 85

一、三重积分的概念 85

二、在直角坐标系中三重积分的算法 85

三、在柱面坐标系下三重积分的计算 90

四、在球面坐标系下三重积分的计算 92

五、三重积分的应用 95

习题8-4 97

综合例题解析（八） 98

第9章 曲线积分与曲面积分 108

第1节 对弧长的曲线积分 109

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 109

二、对弧长的曲线积分的计算 111

三、对弧长的曲线积分的推广 114

四、对弧长的曲线积分的应用举例 115

习题9-1 117

第2节 对坐标的曲线积分 118

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 118

二、对坐标的曲线积分的计算方法 121

三、两类曲线积分之间的关系 124

习题9-2 125

第3节 格林公式及其应用 127

一、格林公式 127

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 132

三、二元函数全微分的求积问题 135

习题9-3 140

第4节 对面积的曲面积分 141

一、对面积的曲面积分的概念与性质 141

二、对面积的曲面积分的算法 143

习题9-4 147

第5节 对坐标的曲面积分 148

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 148

二、对坐标的曲面积分的算法 152

三、两类曲面积分之间的联系 155

习题9-5 158

第6节 高斯公式与斯托克斯公式 159

一、高斯公式 159

二、斯托克斯公式 163

三、空间曲线积分与路径无关的条件 166

习题9-6 168

综合例题解析（九） 170

第10章 无穷级数 179

第1节 常数项级数的概念和性质 180

一、常数项级数的概念 180

二、收敛级数的基本性质 182

习题10-1 186

第2节 常数项级数的审敛法 187

一、正项级数及其审敛法 187

二、交错级数及其审敛法 194

三、绝对收敛与条件收敛 195

习题10-2 198

第3节 幂级数 199

一、函数项级数的概念 199

二、幂级数及其收敛性 200

三、幂级数的运算 204

习题10-3 207

第4节 函数展开成幂级数 207

一、泰勒级数 207

二、函数展开成幂级数 209

三、函数的幂级数展开式的应用 216

习题10-4 219

第5节 傅里叶级数 219

一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 220

二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 227

习题10-5 231

综合例题解析（十） 231

第11章 微分方程 242

第1节 微分方程的基本概念 243

习题11-1 246

第2节 一阶微分方程的解法 247

一、可分离变量的微分方程 247

二、齐次微分方程 250

三、一阶线性微分方程 251

四、伯努利方程 254

五、全微分方程 256

习题11-2 258

第3节 高阶微分方程的解法 259

一、可降阶的高阶微分方程 259

二、二阶线性微分方程解的结构 262

三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 265

四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 268

五、二阶线性微分方程举例 272

习题11-3 276

综合例题解析（十一） 277