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第1章 数学分析基础 1

上册 1

1.1 实数集与不等式 3

1.1.1 问题提出 3

1.1.2 概念入门 4

1.1.3 主要性质及结论 5

1.1.4 例题选讲 7

1.2 函数 13

1.2.1 问题提出 13

1.2.2 概念入门 13

1.2.3 例题选讲 18

1.3.1 问题提出 27

1.3 数列极限 27

1.3.2 概念入门 28

1.3.3 主要性质及结论 30

1.3.4 例题选讲 36

1.4 函数极限 55

1.4.1 问题提出 55

1.4.2 概念入门 55

1.4.3 主要性质及结论 59

1.4.4 例题选讲 65

1.5 极限基础 84

1.5.1 问题提出 84

1.5.2 概念入门 85

1.5.3 主要性质及结论 89

1.5.4 例题选讲 97

1.6 连续函数 109

1.6.1 问题提出 109

1.6.2 概念入门 109

1.6.3 主要性质及结论 111

1.6.4 例题选讲 117

1.7 数学分析基础相关背景介绍 132

1.7.1 函数概念产生的背景及其发展 132

1.7.2 极限思想产生的背景及其发展 133

1.7.3 实数完备性理论产生的历史背景 136

1.7.4 连续函数概念产生的背景简介 138

第2章 一元函数微分学 139

2.1 导数与微分 140

2.1.1 问题提出 140

2.1.2 概念入门 140

2.1.3 主要性质及结论 144

2.1.4 例题选讲 149

2.2 微分中值定理 161

2.2.1 问题提出 161

2.2.2 主要性质及结论 161

2.2.3 例题选讲 166

2.3.2 主要性质及结论 179

2.3 泰勒公式 179

2.3.1 问题提出 179

2.3.3 例题选讲 183

2.4 一元函数微分学应用（一） 192

2.4.1 问题提出 192

2.4.2 概念入门 192

2.4.3 主要性质及结论 193

2.4.4 例题选讲 198

2.5 一元函数微分学应用（二） 213

2.5.1 问题提出 213

2.5.2 一元函数微分在面积（体积）问题中的应用 214

2.5.3 一元函数微分在距离及相关问题中的应用 215

2.5.4 相关变化率及其应用 216

2.5.5 边际与弹性分析 218

2.6 微分学历史背景及人物介绍 228

2.6.1 微分学历史背景简介 228

2.6.2 牛顿的流数术微积分 230

2.6.3 莱布尼兹的无穷小微积分 233

2.6.4 微积分发明权之争 235

2.6.5 牛顿生平简介 236

2.6.6 莱布尼兹生平简介 237

2.6.7 拉格朗日生平简介 238

第3章 一元函数积分学 241

3.1.2 概念入门 242

3.1 不定积分 242

3.1.1 问题提出 242

3.1.3 主要性质及结论 244

3.1.4 例题选讲 248

3.2 定积分 267

3.2.1 问题提出 267

3.2.2 概念入门 267

3.2.3 主要性质及结论 270

3.2.4 例题选讲 276

3.3.1 问题提出 285

3.3.2 概念入门 285

3.3 微积分基本定理 285

3.3.3 主要性质及结论 286

3.3.4 例题选讲 292

3.4 定积分应用 310

3.4.1 问题提出 310

3.4.2 主要应用及方法 310

3.4.3 例题选讲 315

3.5 广义积分 327

3.5.1 问题提出 327

3.5.2 概念入门 328

3.5.3 主要性质及结论 330

3.5.4 例题选讲 334

3.6 一元函数积分学历史背景及人物介绍 347

3.6.1 定积分概念产生的背景及其发展 347

3.6.2 微积分基本定理产生的背景及其重要意义 348

3.6.3 黎曼生平简介 350

3.6.4 欧拉生平及他对数学科学的卓越贡献 351

附录（上）：部分习题参考解答或提示 356

下册 389

第4章 级数 389

4.1 数项级数 390

4.1.1 问题提出 390

4.1.2 概念入门 390

4.1.3 主要性质及结论 392

4.1.4 例题选讲 400

4.2 函数项级数 421

4.2.1 问题提出 421

4.2.2 概念入门 421

4.2.3 主要性质及结论 423

4.2.4 例题选讲 425

4.3 幂级数 442

4.3.1 问题提出 442

4.3.2 概念入门 442

4.3.3 主要性质及结论 444

4.3.4 例题选讲 448

4.4.2 概念入门 460

4.4 傅里叶级数 460

4.4.1 问题提出 460

4.4.3 主要性质及结论 463

4.4.4 例题选讲 468

4.5 构建级数学说历史背景与重要人物介绍 480

4.5.1 柯西构建常数项级数学说的背景 480

4.5.2 函数列（函数项级数）一致收敛学说建构的背景 481

4.5.3 幂级数理论诞生的背景及其意义 482

4.5.4 傅里叶级数理论产生的背景及其意义 483

4.5.5 柯西生平简介 484

4.5.6 魏尔斯特拉斯生平简介 487

第5章 多元函数微分学 491

5.1 欧氏空间与多元函数 492

5.1.1 问题提出 492

5.1.2 概念入门 493

5.1.3 n维空间点集论基本定理 495

5.1.4 例题选讲 496

5.2 二元函数的极限与连续 501

5.2.1 问题提出 501

5.2.2 概念入门 501

5.2.3 主要性质及结论 503

5.2.4 例题选讲 505

5.3.1 问题提出 515

5.3 多元函数的偏导数与全微分 515

5.3.2 概念入门 516

5.3.3 主要性质及结论 518

5.3.4 例题选讲 522

5.4 高阶偏导数与极值 536

5.4.1 问题提出 536

5.4.2 概念入门 537

5.4.3 主要性质及结论 538

5.4.4 例题选讲 543

5.5.1 问题提出 555

5.5.2 概念入门 555

5.5 隐函数与隐函数组 555

5.5.3 主要性质及结论 558

5.5.4 例题选讲 561

5.6 几何应用与条件极值 574

5.6.1 问题提出 574

5.6.2 概念入门 574

5.6.3 主要性质及结论 575

5.6.4 例题选讲 580

第6章 多元函数积分学 591

6.1 含参变量积分 592

6.1.1 问题提出 592

6.1.2 概念入门 592

6.1.3 主要性质及结论 594

6.1.4 例题选讲 603

6.2 二重积分与三重积分 615

6.2.1 问题提出 615

6.2.2 概念入门 615

6.2.3 主要性质及结论 618

6.2.4 例题选讲 627

6.3 曲线积分与曲面积分 654

6.3.1 问题提出 654

6.3.2 概念入门 654

6.3.3 主要性质及结论 658

6.3.4 例题选讲 665

6.4 场论初步 689

6.4.1 问题提出 689

6.4.2 概念入门 689

6.4.3 基本运算规则及运算结果 692

6.4.4 例题选讲 693

6.5 多元积分学历史背景及高斯生平介绍 696

6.5.1 重积分理论体系建立的历史背景 696

6.5.2 微积分基本理论推广到高维情形的历史背景 697

6.5.3 大数学家高斯的生平及成就简介 698

附录（下）：部分习题参考解答或提示 701

主要参考书目 720