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第1章 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间 1

一、线性空间的概念 1

二、线性空间的基与维数 2

三、坐标 3

四、基变换与坐标变换 5

五、子空间 8

1.2 内积空间 13

一、欧氏空间与酉空间 13

二、标准正交基 16

1.3 线性变换 19

一、线性变换 19

二、线性变换的矩阵 21

三、不变子空间 24

四、正交变换与酉变换 25

五、线性空间Vn（F）到线性空间Vm（F）的线性变换 28

习题一 31

第2章 Jordan标准形介绍 35

2.1 线性变换的对角矩阵表示 35

一、线性变换的特征值与特征向量 35

二、线性变换矩阵的对角化 38

2.2 Jordan矩阵介绍 40

一、Jordan矩阵 40

二、Jordan标准形的求法 42

2.3 最小多项式 48

一、矩阵多项式 49

二、方阵的化零多项式 52

三、最小多项式 53

习题二 57

第3章 矩阵的分解 60

3.1 常见的矩阵标准形与分解 60

一、矩阵的三角分解 61

二、矩阵的满秩分解 66

三、可对角化矩阵的谱分解 70

3.2 Schur分解与正规矩阵 74

一、Schur分解 74

二、正规矩阵 77

3.3 矩阵的奇异值分解 81

一、矩阵的奇异值及其性质 82

二、矩阵的奇异值分解 83

三、矩阵A的奇异值分解与线性变换TA 88

四、方阵的极分解 89

习题三 91

第4章 矩阵的广义逆 93

4.1 矩阵的左逆与右逆 93

一、满秩矩阵与单侧逆 93

二、单侧逆与解线性方程组 94

4.2 广义逆矩阵 95

一、减号广义逆 95

二、Moore-Penrose广义逆（加号广义逆） 98

4.3 投影变换 101

一、投影变换与投影矩阵 101

二、正交投影变换与正交投影矩阵 103

4.4 最佳的最小二乘解 105

习题四 108

第5章 矩阵分析 109

5.1 向量范数 109

一、向量范数的概念 109

二、向量范数的连续性与等价性 110

5.2 矩阵范数 111

一、矩阵范数的概念 112

二、诱导范数 114

5.3 向量序列和矩阵序列的极限 115

5.4 矩阵幂级数 118

一、谱半径 118

二、数值范围 120

三、矩阵幂级数 122

5.5 矩阵函数 125

一、矩阵函数的定义与性质 125

二、矩阵函数的求法 127

5.6 函数矩阵的微分与积分 130

5.7 矩阵函数的应用 131

一、一阶线性常系数齐次微分方程组 132

二、一阶线性常系数非齐次微分方程组 133

习题五 134

第6章 矩阵的Kronecker积与Hadamard积 136

6.1 Kronecker积与Hadamard积的定义 136

6.2 Kronecker积与Hadamard积的性质 140

6.3 矩阵的向量化算子与Kronecker积 145

习题六 150

第7章 非负矩阵介绍 151

7.1 非负矩阵 151

7.2 正矩阵 154

7.3 素矩阵 158

7.4 M矩阵 160

习题答案与提示 163

参考书目 172