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第1章 绪论 1

1.1 数值分析研究的对象与特点 1

1.2 误差来源与误差分析的重要性 2

1.3 误差的基本概念 4

1.3.1 误差与误差限 4

1.3.2 相对误差与相对误差限 5

1.3.3 有效数字 5

1.3.4 数值运算的误差估计 7

1.4 数值运算中误差分析的方法与原则 8

1.4.1 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 9

1.4.2 要避免两相近数相减 10

1.4.3 要防止大数“吃掉”小数 10

1.4.4 注意简化计算步骤，减少运算次数 11

小结 11

习题 12

第2章 插值法 13

2.1 引言 13

2.2 Lagrange插值 14

2.2.1 插值多项式的存在唯一性 14

2.2.2 线性插值与抛物插值 15

2.2.3 Lagrange插值多项式 17

2.2.4 插值余项 18

2.3 逐次线性插值法 20

2.4 差商与Newton插值公式 22

2.4.1 差商及其性质 22

2.4.2 Newton插值公式 23

2.5 差分与等距节点插值公式 25

2.5.1 差分及其性质 25

2.5.2 等距节点插值公式 26

2.6 Hermite插值 28

2.7 分段低次插值 31

2.7.1 多项式插值的问题 31

2.7.2 分段线性插值 32

2.7.3 分段三次Hermite插值 33

2.8 三次样条插值 35

2.8.1 三次样条函数 35

2.8.2 三转角方程 36

2.8.3 三弯矩方程 38

2.8.4 计算步骤与例题 39

2.8.5 三次样条插值的收敛性 40

小结 41

习题 42

第3章 函数逼近与计算 44

3.1 引言与预备知识 44

3.1.1 问题的提出 44

3.1.2 Weierstrass定理 45

3.1.3 连续函数空间C［a,b］ 46

3.2 最佳一致逼近多项式 46

3.2.1 最佳一致逼近多项式的存在性 46

3.2.2 Chebyshev定理 47

3.2.3 最佳一次逼近多项式 49

3.3 最佳平方逼近 51

3.3.1 内积空间 51

3.3.2 函数的最佳平方逼近 53

3.4 正交多项式 55

3.4.1 正交化手续 55

3.4.2 Legendre多项式 56

3.4.3 Chebyshev多项式 59

3.4.4 其他常用的正交多项式 61

3.5 函数按正交多项式展开 62

3.6 曲线拟合的最小二乘法 64

3.6.1 一般的最小二乘逼近 64

3.6.2 用正交函数作最小二乘拟合 68

3.6.3 多元最小二乘拟合 70

3.7 Fourier逼近与快速Fourier变换 70

3.7.1 最佳平方三角逼近与三角插值 70

3.7.2 快速Fourier变换 72

小结 76

习题 76

第4章 数值积分与数值微分 79

4.1 引言 79

4.1.1 数值求积的基本思想 79

4.1.2 代数精度的概念 80

4.1.3 插值型的求积公式 80

4.2 Newton-Cotes公式 81

4.2.1 Cotes系数 81

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度 83

4.2.3 几种低阶求积公式的余项 83

4.2.4 复化求积法及其收敛性 84

4.3 Romberg算法 86

4.3.1 梯形法的递推化 86

4.3.2 Romberg公式 88

4.3.3 Richardson外推加速法 89

4.3.4 梯形法的余项展开式 91

4.4 Gauss公式 92

4.4.1 Gauss点 93

4.4.2 Gauss-Legendre公式 94

4.4.3 Gauss公式的余项 95

4.4.4 Gauss公式的稳定性 95

4.4.5 带权的Gauss公式 96

4.5 数值微分 97

4.5.1 中点方法 97

4.5.2 插值型的求导公式 99

4.5.3 实用的五点公式 101

4.5.4 样条求导 102

小结 102

习题 103

第5章 常微分方程数值解法 105

5.1 引言 105

5.2 Euler方法 105

5.2.1 Euler格式 105

5.2.2 后退的Euler格式 107

5.2.3 梯形格式 108

5.2.4 改进的Euler格式 109

5.2.5 Euler两步格式 110

5.3 Runge-Kutta方法 112

5.3.1 Taylor级数法 112

5.3.2 Runge-Kutta方法的基本思想 113

5.3.3 二阶Runge-Kutta方法 114

5.3.4 三阶Runge-Kutta方法 115

5.3.5 四阶Runge-Kutta方法 117

5.3.6 变步长的Runge-Kutta方法 118

5.4 单步法的收敛性和稳定性 119

5.4.1 单步法的收敛性 119

5.4.2 单步法的稳定性 121

5.5 线性多步法 123

5.5.1 基于数值积分的构造方法 123

5.5.2 Adams显式格式 124

5.5.3 Adams隐式格式 125

5.5.4 Adams预测-校正系统 126

5.5.5 基于Faylor展开的构造方法 127

5.5.6 Milne格式 129

5.5.7 Hamming格式 130

5.6 方程组与高阶方程的情形 131

5.6.1 一阶方程组 131

5.6.2 化高阶方程组为一阶方程组 132

5.7 边值问题的数值解法 133

5.7.1 试射法 134

5.7.2 差分方程的建立 134

5.7.3 差分问题的可解性 136

5.7.4 差分方法的收敛性 137

小结 138

习题 139

第6章 方程求根 141

6.1 根的搜索 141

6.1.1 逐步搜索法 141

6.1.2 二分法 141

6.2 迭代法 143

6.2.1 迭代过程的收敛性 143

6.2.2 迭代公式的加工 146

6.3 Newton法 148

6.3.1 Newton公式 148

6.3.2 Newton法的几何解释 149

6.3.3 Newton法的局部收敛性 150

6.3.4 Newton法应用举例 151

6.3.5 Newton下山法 152

6.4 弦截法与抛物线法 153

6.4.1 弦截法 153

6.4.2 抛物线法 156

6.5 代数方程求根 157

6.5.1 多项式求值的秦九韶算法 157

6.5.2 代数方程的Newton法 158

6.5.3 劈因子法 159

小结 161

习题 161

第7章 解线性方程组的直接方法 163

7.1 引言 163

7.2 Gauss消去法 163

7.2.1 消元手续 164

7.2.2 矩阵的三角分解 167

7.2.3 计算量 169

7.3 Gauss主元素消去法 170

7.3.1 完全主元素消去法 171

7.3.2 列主元素消去法 172

7.3.3 Gauss-Jordan消去法 174

7.4 Gauss消去法的变形 177

7.4.1 直接三角分解法 177

7.4.2 平方根法 180

7.4.3 追赶法 183

7.5 向量和矩阵的范数 185

7.6 误差分析 191

7.6.1 矩阵的条件数 191

7.6.2 舍入误差 196

小结 197

习题 197

第8章 解线性方程组的迭代法 201

8.1 引言 201

8.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法 203

8.2.1 Jacobi迭代法 203

8.2.2 Gauss-Seidel迭代法 204

8.3 迭代法的收敛性 205

8.4 解线性方程组的超松弛迭代法 212

小结 216

习题 216

第9章 矩阵的特征值与特征向量计算 219

9.1 引言 219

9.2 幂法及反幂法 221

9.2.1 幂法 221

9.2.2 加速方法 224

9.2.3 反幂法 226

9.3 Householder方法 229

9.3.1 引言 229

9.3.2 用正交相似变换约化矩阵 231

9.4 QR算法 236

9.4.1 引言 236

9.4.2 QR算法 238

9.4.3 带原点位移的QR方法 241

小结 245

习题 245

部分习题答案 247

参考文献 250