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第一节 空间直角坐标系 1

一、空间直角坐标系 1

第八章　空间解析几何与向量代数 1

二、两点间的距离公式 2

第二节　向量及其线性运算 3

一、向量概念 3

二、向量的加减法 3

三、向量与数的乘法 4

一、向量在轴上的投影 6

第三节　向量的坐标 6

二、向量的坐标 7

三、向量的模、方向余弦的坐标表示 9

第四节　向量的乘积 10

一、两向量的数量积 10

二、两向量的向量积 12

三、向量的混合积 15

第五节　空间曲面的方程 16

一、曲面方程的概念 16

三、球面方程 17

二、平行于坐标面的平面方程 17

四、母线平行于坐标轴的柱面方程 18

五、旋转曲面方程 18

第六节　平面及其方程 20

一、平面的点法式方程 20

二、平面的一般方程 21

三、两平面的夹角 23

第七节　空间曲线的方程 24

一、空间曲线的一般方程 24

二、空间曲线的参数方程 25

三、空间曲线在坐标面上的投影 26

第八节　空间直线及其方程 27

一、直线的一般方程 27

二、直线的对称式方程 27

三、有关直线和平面的问题 29

第九节　二次曲面 34

一、椭球面 34

二、单叶双曲面 35

三、双叶双曲面 36

四、椭圆抛物面 37

五、双曲抛物面 37

六、二次锥面 38

习题八 39

本章学习要点 46

第五单元（空间解析几何与向量代数）检测题 48

第九章　多元函数及其微分法 51

第一节　多元函数的概念二元函数的极限和连续性 51

一、平面点集n维空间 51

二、多元函数的概念 52

三、二元函数的极限 54

四、二元函数的连续性 57

一、偏导数的定义及计算法 58

第二节　偏导数 58

二、高阶偏导数 62

第三节　全微分及其应用 64

一、全微分的概念 64

二、全微分在近似计算中的应用 68

第四节　多元函数复合函数的微分法 69

一、复合函数的全导数 69

二、复合函数偏导数 72

三、全微分形式的不变性 76

一、一元隐函数求导公式 77

第五节　隐函数的微分法 77

二、二元隐函数求导公式 79

三、方程组的情形 80

第六节　多元函数微分法在几何上的应用 85

一、空间曲线的切线及法平面 85

二、空间曲面的切平面与法线 88

第七节　方向导数与梯度 90

一、方向导数 90

二、梯度 92

二、极值的必要条件 94

一、二元函数的极值概念 94

第八节　多元函数极值及其求法 94

三、极值的充分条件 95

四、二元函数的最大值和最小值 96

五、条件极值 98

第九节　最小二乘法 102

习题九 105

本章学习要点 114

第六单元（多元函数微分学）检测题 116

第一节　二重积分的概念及性质 121

一、二重积分的概念 121

第十章　重积分 121

二、二重积分的性质 124

第二节　二重积分的计算 126

一、二重积分在直角坐标系中的计算 126

二、二重积分在极坐标系下的计算 132

三、二重积分的换元法 139

第三节　三重积分 143

一、三重积分的概念 143

二、三重积分在直角坐标系中的计算 144

三、三重积分在柱坐标系中的计算 149

四、三重积分在球面坐标系中的计算 151

五、三重积分的换元积分 157

第四节　重积分的应用 159

一、在几何上的应用 159

二、在物理上的应用 165

习题十 170

本章学习要点 181

第十一章　曲线积分与曲面积分 183

第一节　对弧长的曲线积分 183

一、对弧长曲线积分的概念及性质 183

二、对弧长曲线积分的计算法 185

第二节　对坐标的曲线积分 187

一、对坐标的曲线积分的概念及性质 187

二、对坐标的曲线积分的计算法 189

三、两类曲线积分的关系 193

第三节　格林公式　平面上曲线积分与路径无关的条件 193

一、格林（Green）公式 193

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 199

第四节　全微分方程 202

一、全微分方程及其解的概念 202

二、二元函数全微分求积 203

三、全微分方程求解 207

四、积分因子 209

第五节　对面积的曲面积分 210

一、对面积的曲面积分的概念及性质 210

二、对面积的曲面积分的计算法 212

第六节　对坐标的曲面积分 214

一、对坐标的曲面积分的概念及性质 214

二、对坐标的曲面积分的计算法 218

第七节　高斯公式通量与散度 222

一、高斯（Gauss）公式 222

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 225

三、散度与通量 226

第八节　斯托克斯公式　环流量与旋度 227

一、斯托克斯（Stokes）公式 227

二、空间曲线积分与路径无关的条件 230

三、环流量与旋度 231

习题十一 232

本章学习要点 244

第七单元（多元函数积分学）检测题 245

一、常数项级数的基本概念 251

第一节　常数项级数概念和基本性质 251

第十二章　无穷级数 251

二、级数的基本性质 253

三、级数收敛的必要条件 255

第二节　正项级数收敛性的判别法 257

一、正项级数的概念及判别收敛的基本法则 257

二、正项级数的比较判别法 257

三、正项级数的比值判别法 262

四、正项级数的根值判别法 264

第三节　任意项级数收敛性的判别法 265

一、交错级数及其收敛性判别法 265

二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 267

第四节　幂级数 269

一、函数项级数概念及其收敛域 269

二、幂级数及其收敛域 270

三、幂级数的性质 274

第五节　函数的幂级数展开 277

一、泰勒（Taylor）公式 277

二、泰勒级数定理 282

三、初等函数的泰勒级数展开式 284

第六节　幂级数应用举例 291

一、欧拉（Euler）公式 291

二、近似计算 292

三、微分方程的幂级数解法 296

第七节　傅里叶（Fourier）级数 298

一、三角级数三角函数系的正交性 298

二、函数展开成傅里叶级数 299

三、正弦级数和余弦级数 305

四、函数在任意区间上的傅里叶级数 309

习题十二 313

本章学习要点 325

第八单元（无穷级数）检测题 327

习题答案与提示 332