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绪论 1

第1章 函数、极限与连续 4

1.1 函数的基本概念 4

1.1.1 准备知识 4

1.1.2 函数定义 4

1.1.3 函数特性 6

习题1.1 7

1.2 初等函数 8

1.2.1 基本初等函数 8

1.2.2 初等函数 11

习题1.2 11

1.3 极限的概念 12

1.3.1 极限引例 12

1.3.2 极限的直观定义 13

1.3.3 极限的精确定义 13

习题1.3 17

1.4 极限的性质与运算 17

1.4.1 极限的性质 17

1.4.2 极限的运算 18

习题1.4 23

1.5 无穷小量 24

1.5.1 无穷小量与无穷大量 24

1.5.2 无穷小量的运算性质 25

1.5.3 无穷小量的比较 26

习题1.5 28

1.6 函数的连续性 29

1.6.1 连续函数的概念 29

1.6.2 间断点及其分类 30

1.6.3 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 31

习题1.6 32

1.7 闭区间上连续函数的性质 33

1.7.1 最值定理 33

1.7.2 介值定理 33

习题1.7 34

1.8 极限模型应用举例 35

1.8.1 斐波那契数列与黄金分割 35

1.8.2 交流电路中的电流强度 37

习题1.8 37

复习题1 38

第2章 导数与微分 40

2.1 导数的概念 40

2.1.1 导数的产生背景 40

2.1.2 导数的概念 41

2.1.3 单侧导数 44

2.1.4 导数的几何意义 45

2.1.5 函数可导与连续的关系 46

习题2.1 46

2.2 导数的运算法则 47

2.2.1 导数的四则运算法则 48

2.2.2 反函数的求导法则 49

2.2.3 复合函数的求导法则 51

2.2.4 基本初等函数的导数公式 53

习题2.2 54

2.3 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 56

2.3.1 隐函数的导数 56

2.3.2 由参数方程所确定的函数的导数 59

2.3.3 相关变化率 61

习题2.3 62

2.4 高阶导数 63

习题2.4 69

2.5 微分 70

2.5.1 微分的概念 70

2.5.2 微分的运算法则 72

2.5.3 函数的线性近似 74

习题2.5 75

2.6 导数与微分模型举例 76

2.6.1 实际问题中的导数模型 76

2.6.2 相关变化率 77

2.6.3 人口增长模型 78

2.6.4 经营决策模型 79

习题2.6 81

复习题2 81

第3章 微分中值定理与导数的应用 83

3.1 微分中值定理 83

3.1.1 罗尔定理 83

3.1.2 拉格朗日定理 85

3.1.3 柯西定理 88

习题3.1 89

3.2 不定型的极限 90

3.2.1 0/0型 90

3.2.2 ∞/∞型 92

3.2.3 其他不定型 93

习题3.2 95

3.3 泰勒公式 96

3.3.1 函数逼近简介 96

3.3.2 具有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式 97

3.3.3 具有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式 98

3.3.4 将函数展开为泰勒公式 99

3.3.5 泰勒公式的应用 101

习题3.3 104

3.4 函数的单调性与极值 104

3.4.1 函数单调性的判定法 105

3.4.2 函数的极值 108

3.4.3 函数的最大值与最小值 111

习题3.4 114

3.5 函数的凸性与曲线的拐点 116

3.5.1 函数的凸性 116

3.5.2 曲线的拐点 118

习题3.5 121

3.6 函数图形的描绘 122

3.6.1 曲线的渐近线 122

3.6.2 函数图形的描绘 125

习题3.6 127

3.7 优化与微分模型举例 128

3.7.1 经营优化问题 128

3.7.2 运输问题 130

3.7.3 库存问题 132

3.7.4 森林救火问题 134

习题3.7 135

复习题3 136

第4章 不定积分 138

4.1 不定积分的概念与性质 138

4.1.1 原函数与不定积分的概念 138

4.1.2 不定积分的几何意义 140

4.1.3 基本积分表 141

4.1.4 不定积分的性质 141

习题4.1 144

4.2 换元积分法 145

4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 146

4.2.2 第二类换元法 153

习题4.2 157

4.3 分部积分法 158

习题4.3 164

4.4 有理函数的积分 165

4.4.1 有理真分式分解为简单分式之和 165

4.4.2 有理函数的积分 167

4.4.3 三角函数有理式积分 168

习题4.4 170

4.5 不定积分的模型举例 170

4.5.1 在几何中的应用 170

4.5.2 在物理中的应用 171

4.5.3 在经济学中的应用 172

4.5.4 植物生长初步模型 173

复习题4 175

第5章 定积分及其应用 177

5.1 定积分的概念与性质 177

5.1.1 引例 177

5.1.2 定积分的定义 179

5.1.3 可积的充分条件 180

5.1.4 定积分的几何意义 180

5.1.5 定积分的性质 181

习题5.1 185

5.2 微积分基本公式 186

5.2.1 变速直线运动的位置函数与速度函数之间的联系 186

5.2.2 积分上限函数及其导数 186

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 189

习题5.2 191

5.3 定积分的换元法与分部积分法 192

5.3.1 定积分的换元法 192

5.3.2 定积分的分部积分法 196

习题5.3 198

5.4 广义积分 199

5.4.1 无穷限的广义积分 199

5.4.2 无界函数的广义积分 202

习题5.4 205

5.5 定积分的几何应用 205

5.5.1 微元法 206

5.5.2 定积分在几何上的应用 207

习题5.5 215

5.6 定积分模型应用举例 216

5.6.1 功 216

5.6.2 引力 219

5.6.3 质量 221

5.6.4 数值逼近 222

5.6.5 扫雪机清扫积雪模型 223

习题5.6 224

复习题5 225

部分习题参考答案 228

参考文献 247

附录Ⅰ 初等数学常用公式 248

附录Ⅱ 常用平面曲线及其方程 253