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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种简单特性 4

1.1.3 反函数 6

1.1.4 初等函数 6

1.1.5 建立函数关系式 9

习题1-1 10

1.2 极限 11

1.2.1 数列的极限 11

1.2.2 函数的极限 13

1.2.3 无穷小与无穷大 15

习题1-2 17

1.3 极限运算 18

1.3.1 极限的四则运算 18

1.3.2 两个重要极限 19

习题1-3 22

1.4 函数的连续性 23

1.4.1 函数的连续性的概念 23

1.4.2 函数的间断点 25

1.4.3 闭区间上连续函数的性质 26

习题1-4 26

参考答案 27

习题1-1 27

习题1-2 28

习题1-3 29

习题1-4 30

第2章 导数与微分 31

2.1 导数及其定义 31

2.1.1 导数的定义 31

2.1.2 可导与连续的关系 34

2.1.3 导数的实际意义 35

习题2-1 35

2.2 导数的运算法则与导数的基本公式 35

2.2.1 基本初等函数的导数与四则运算 36

2.2.2 复合函数求导法 42

2.2.3 隐函数的求导 43

2.2.4 由参数方程确定的函数的求导方法 45

2.2.5 高阶导数 46

习题2-2 49

2.3 微分 50

2.3.1 微分的概念 50

2.3.2 基本初等函数的微分公式及微分的运算法则 51

2.3.3 微分形式的不变性 52

2.3.4 微分在近似计算中的应用 52

习题2-3 53

参考答案 54

习题2-1 54

习题2-2 54

习题2-3 55

第3章 导数的应用 56

3.1 拉格朗日中值定理 56

3.1.1 罗尔定理 56

3.1.2 拉格朗日中值定理 56

3.1.3 柯西定理 57

习题3-1 57

3.2 函数的单调性与极值 57

3.2.1 函数单调性的判别法 57

3.2.2 函数的极值及其求法 58

3.2.3 函数的最大值与最小值 60

习题3-2 63

3.3 曲线的凹凸与拐点 63

3.3.1 曲线的凹凸 63

3.3.2 曲线的拐点 64

习题3-3 65

3.4 洛比达法则 65

3.4.1 0/0型未定式 65

3.4.2 ∞/∞型未定式 66

习题3-4 67

3.5 曲率 68

3.5.1 曲率的概念 68

3.5.2 曲率的计算 69

3.5.3 曲率圆与曲率半径 70

习题3-5 71

参考答案 71

习题3-1（略） 71

习题3-2 71

习题3-3 71

习题3-4 72

习题3-5 72

第4章 不定积分 73

4.1 不定积分的概念 73

4.1.1 原函数的概念 73

4.1.2 不定积分的定义与意义 74

习题4-1 77

4.2 不定积分的性质与直接积分法 78

4.2.1 不定积分的性质 78

4.2.2 直接积分法 78

习题4-2 80

4.3 换元积分法 80

4.3.1 第一类换元积分法 80

4.3.2 第二类换元积分法 83

习题4-3 86

4.4 分部积分法 87

习题4-4 90

参考答案 90

习题4-1 90

习题4-2 91

习题4-3 91

习题4-4 92

第5章 定积分及其应用 93

5.1 定积分的概念 93

5.1.1 定积分的定义 93

5.1.2 定积分的几何意义和性质 95

习题5-1 97

5.2 定积分的基本公式（牛顿—莱布尼兹公式） 98

5.2.1 变上限定积分 98

5.2.2 牛顿—莱布尼茨公式 99

习题5-2 100

5.3 定积分的换元法与分部积分法 101

5.3.1 定积分的换元法 101

5.3.2 定积分的分部积分法 103

习题5-3 103

5.4 广义积分 104

5.4.1 无穷区间上的广义积分 104

5.4.2 无界函数的广义积分 106

习题5-4 107

5.5 定积分的应用 107

5.5.1 定积分的微元法 108

5.5.2 定积分在几何中的应用 108

5.5.3 定积分在物理中的应用 114

习题5-5 115

参考答案 116

习题5-1 116

习题5-2 116

习题5-3 117

习题5-4 117

习题5-5 117

第6章 微分方程 118

6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 118

6.1.1 微分方程的基本概念 118

6.1.2 分离变量法 119

习题6-1 121

6.2 一阶线性微分方程与可降价的高阶微分方程 121

6.2.1 一阶线性微分方程 121

6.2.2 可降阶的高阶微分方程 123

习题6-2 125

6.3 二阶常系数线性微分方程 126

6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的性质 126

6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 126

6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 128

习题6-3 132

6.4 微分方程应用举例 132

习题6-4 134

参考答案 136

习题6-1 136

习题6-2 136

习题6-3 136

习题6-4 137

第7章 多元函数微积分 138

7.1 空间解析几何简介 138

7.1.1 空间直角坐标系 138

7.1.2 空间曲面与方程 139

习题7-1 142

7.2 多元函数的概念 142

习题7-2 146

7.3 偏导数 147

7.3.1 偏导数的概念 147

7.3.2 高阶偏导数 149

习题7-3 151

7.4 全微分 151

习题7-4 153

7.5 多元函数的求导法则 153

7.5.1 多元复合函数的求导法则 153

7.5.2 隐函数的求导法则 156

习题7-5 157

7.6 多元函数的极值 158

7.6.1 二元函数的极值 158

7.6.2 最大值和最小值 159

7.6.3 条件极值 160

习题7-6 161

7.7 二重积分 161

7.7.1 二重积分的概念与性质 161

7.7.2 二重积分的计算 163

习题7-7 167

参考答案 168

习题7-1 168

习题7-2 168

习题7-3 169

习题7-4 169

习题7-5 170

习题7-6 170

习题7-7 170

第8章 级数 172

8.1 数项级数 172

8.1.1 数项级数的概念 172

8.1.2 收敛级数的基本性质 174

8.1.3 正项级数及其审敛法 176

8.1.4 交错级数及其审敛法 181

8.1.5 绝对收敛与条件收敛 182

习题8-1 183

8.2 幂级数 185

8.2.1 函数项级数的概念 185

8.2.2 幂级数及其收敛性 186

8.2.3 幂级数的运算及和函数 189

8.2.4 泰勒级数和麦克劳林级数 192

8.2.5 函数展开成幂级数 193

习题8-2 194

8.3 傅立叶级数 195

8.3.1 三角函数系及其正交性 195

8.3.2 周期为2π的周期函数展开成傅立叶级数 196

8.3.3 定义在有限区间上的函数展开成傅立叶级数 198

8.3.4 周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数 202

习题8-3 203

参考答案 204

习题8-1 204

习题8-2 204

习题8-3 206

第9章 拉普拉斯变换 207

9.1 拉普拉斯变换的概念 207

习题9-1 209

9.2 拉普拉斯变换的性质 209

习题9-2 214

9.3 拉普拉斯变换的逆变换 214

习题9-3 215

9.4 拉普拉斯变换的应用 215

习题9-4 217

参考答案 218

习题9-1 218

习题9-2 218

习题9-3 218

习题9-4 218

第10章 矩阵及其应用 219

10.1 n阶行列式的概念 219

10.1.1 二阶和三阶行列式 219

10.1.2 n阶行列式 221

10.1.3 行列式的性质 225

10.1.4 克莱姆法则 227

习题10-1 228

10.2 矩阵 229

10.2.1 矩阵的概念 229

10.2.2 矩阵的线性运算 231

10.2.3 矩阵的乘法运算 232

10.2.4 矩阵的转置运算 233

10.2.5 逆矩阵的概念 235

10.2.6 逆矩阵的存在性及其求法 235

10.2.7 用逆矩阵解线性方程组 237

习题10-2 238

10.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 240

10.3.1 矩阵的初等变换 240

10.3.2 矩阵的秩 241

习题10-3 244

10.4 线性方程组 244

10.4.1 消元法 244

10.4.2 一般线性方程组的求解问题 248

习题10-4 250

参考答案 251

习题10-1 251

习题10-2 251

习题10-3 253

习题10-4 253

第11章 概率与统计 254

11.1 随机事件与概率 254

11.1.1 随机事件 254

11.1.2 随机事件的运算 258

11.1.3 概率的定义 259

习题11-1 261

11.2 概率的基本公式 262

11.2.1 概率的加法公式 262

11.2.2 条件概率与概率的乘法公式 263

11.2.3 全概率公式 265

习题11-2 266

11.3 事件的独立性 267

习题11-3 269

11.4 随机变量及其分布 269

11.4.1 随机变量与分布函数 269

11.4.2 离散型随机变量及其概率分布 270

11.4.3 连续型随机变量的分布 275

习题11-4 279

11.5 随机变量的数字特征 281

11.5.1 数学期望与方差的概念 281

11.5.1 数学期望与方差的性质 283

11.5.3 常用随机变量的数学期望与方差 284

习题11-5 285

11.6 数理统计基础 287

11.6.1 数理统计中的几个概念 287

11.6.2 数理统计的几个分布 289

习题11-6 293

11.7 参数估计 294

11.7.1 参数的点估计 294

11.7.2 估计量的评价标准 294

11.7.3 参数的区间估计 297

习题11-7 300

11.8 假设检验 301

11.8.1 假设检验的基本概念 301

11.8.2 一个正态总体均值的假设检验 302

11.8.3 一个正态总体方差的假设检验 304

习题11-8 304

参考答案 305

习题11-1 305

习题11-2 305

习题11-3 306

习题11-4 306

习题11-5 307

习题11-6 308

习题11-7 309

习题11-8 309

附录1 随机数表 310

附录2 标准正态分布表 314

附录3 几种常用的曲线 315

附录4 积分表 318

参考文献 327