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第1章 极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种特性 3

1.1.3 初等函数 4

1.1.4 经济函数 5

练习1.1 6

1.2 极限 7

1.2.1 数列的极限 7

1.2.2 函数的极限 8

1.2.3 两个重要极限及其应用 11

1.2.4 无穷小量与无穷大量 14

1.2.5 极限模型 17

练习1.2 18

1.3 函数的连续性 19

1.3.1 改变量 19

1.3.2 函数连续性概念 20

1.3.3 初等函数的连续性 21

1.3.4 间断点 22

1.3.5 闭区间上连续函数的性质 22

练习1.3 23

本章小结 24

习题1 26

第2章 导数与微分 28

2.1 导数的概念 28

2.1.1 导数的定义 28

2.1.2 可导与连续 30

练习2.1 31

2.2 求导法 31

2.2.1 导数的基本公式 31

2.2.2 四则运算求导法则 32

2.2.3 复合函数求导法则 34

2.2.4 隐函数求导法 36

2.2.5 取对数求导法 37

练习2.2 38

2.3 高阶导数 39

2.3.1 高阶导数概念及求导法 39

2.3.2 隐函数的二阶导数 40

2.3.3 变化率模型 40

练习2.3 41

2.4 微分 41

2.4.1 微分的概念 41

2.4.2 微分的几何意义 42

2.4.3 微分的计算 43

2.4.4 微分在近似计算和误差估计中的应用 44

练习2.4 46

本章小结 47

习题2 48

第3章 导数的应用 50

3.1 微分中值定理 50

3.1.1 罗尔定理 50

3.1.2 拉格朗日中值定理 51

练习3.1 53

3.2 洛必塔法则 53

3.2.1 洛必塔法则基本型 53

3.2.2 其他未定型 55

练习3.2 56

3.3 函数的性态分析 56

3.3.1 函数的单调性、极值与最值 56

3.3.2 曲线的凹凸性与拐点 61

3.3.3 曲线渐近线 63

练习3.3 64

3.4 泰勒公式 65

3.4.1 泰勒公式 65

3.4.2 幂级数 66

练习3.4 68

3.5 导数在经济学中的应用 68

3.5.1 边际分析 68

3.5.2 优化分析 69

3.5.3 弹性分析 70

习题3.5 71

本章小结 71

习题3 74

第4章 不定积分 76

4.1 原函数与不定积分 76

4.1.1 不定积分概念 76

4.1.2 不定积分性质 77

4.1.3 基本积分公式 78

4.1.4 直接积分法 79

练习4.1 80

4.2 换元积分法 81

4.2.1 凑微分法原理及常见类型 81

4.2.2 有理式换元法 84

4.2.3 无理式换元法 85

4.2.4 三角换元法 86

练习4.2 87

4.3 分部积分法 88

4.3.1 分部积分的“三、指”型 88

4.3.2 分部积分的“反、对”型 89

4.3.3 分部积分的“循环”型 90

4.3.4 不定积分模型 91

练习4.3 92

本章小结 92

习题4 95

第5章 定积分 96

5.1 定积分概念 96

5.1.1 定积分概念 96

5.1.2 定积分性质 99

5.1.3 原函数存在定理 101

5.1.4 微积分基本定理 101

练习5.1 103

5.2 定积分的计算 103

5.2.1 定积分换元法 103

5.2.2 奇偶函数在对称区间上的定积分 104

5.2.3 定积分的分部积分法 105

5.2.4 定积分的近似计算 106

练习5.2 109

5.3 定积分的应用 110

5.3.1 直角坐标系中平面图形的面积 110

5.3.2 极坐标系中平面图形的面积 112

5.3.3 旋转体的体积 113

5.3.4 定积分在物理上的应用 114

5.3.5 定积分在医学上的应用 116

5.3.6 定积分在经济分析中的应用 117

练习5.3 120

5.4 广义积分 121

5.4.1 无穷积分 121

5.4.2 瑕积分 122

5.4.3 广义积分的应用 123

5.4.4 广义积分审敛法 124

5.4.5 Γ函数 126

练习5.4 127

本章小结 127

习题5 132

第6章 微分方程 134

6.1 可分离变量的微分方程 134

6.1.1 微分方程的基本概念 134

6.1.2 可分离变量的微分方程 135

6.1.3 齐次微分方程 136

练习6.1 137

6.2 一阶线性微分方程 138

6.2.1 常数变易法 138

6.2.2 特殊情形的一阶线性微分方程 139

练习6.2 141

6.3 可降阶的二阶微分方程 141

6.3.1 不显含y的可降阶微分方程 141

6.3.2 不显含x的可降阶微分方程 142

练习6.3 143

6.4 二阶线性微分方程 144

6.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 144

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 145

6.4.3 二阶非齐次线性微分方程解的结构 146

6.4.4 二阶常系数非齐次线性微分方程的常数变易法 147

练习6.4 148

6.5 微分方程的应用举例 149

6.5.1 微分方程在物理上的应用 149

6.5.2 微分方程在医学上的应用 151

6.5.3 微分方程在经济分析中的应用 153

练习6.5 154

本章小结 155

习题6 156

第7章 多元函数微分学 158

7.1 空间曲面和曲面方程 158

7.1.1 空间直角坐标系 158

7.1.2 向量的坐标表示 160

7.1.3 二次曲面 162

7.1.4 柱面 164

练习7.1 164

7.2 多元函数的偏导数 164

7.2.1 多元函数 164

7.2.2 二元函数的极限 166

7.2.3 二元函数的连续性 167

7.2.4 多元函数的偏导数 168

练习7.2 172

7.3 多元函数的全微分 173

7.3.1 可微的必要条件 173

7.3.2 可微的充分条件 175

7.3.3 全微分在近似计算中的应用 176

练习7.3 177

7.4 复合函数的微分法 177

7.4.1 二二型锁链法则 177

7.4.2 全导数 179

7.4.3 复合函数微分法 180

7.4.4 隐函数微分法 181

练习7.4 182

7.5 多元函数的极值 183

7.5.1 极值的必要条件 183

7.5.2 极值的充分条件 183

7.5.3 多元函数的最值 184

7.5.4 条件极值、拉格朗日数乘法 185

练习7.5 187

本章小结 188

习题7 190

第8章 多元函数积分学 193

8.1 二重积分的计算 193

8.1.1 二重积分定义 193

8.1.2 二重积分性质 195

8.1.3 二重积分的计算 196

8.1.4 累次积分换序 198

练习8.1 199

8.2 二重积分的应用 200

8.2.1 极坐标计算二重积分 200

8.2.2 二重积分的几何应用 201

8.2.3 二重积分的物理应用 202

8.2.4 二重积分计算广义积分 204

练习8.2 205

8.3 对坐标的曲线积分 205

8.3.1 对坐标曲线积分的定义 205

8.3.2 对坐标曲线积分的性质 207

8.3.3 对坐标曲线积分的计算 207

8.3.4 特殊路径上曲线积分的计算 209

8.3.5 曲线积分模型 210

练习8.3 211

8.4 格林公式 211

8.4.1 曲线积分与二重积分的关系 211

8.4.2 曲线积分计算平面图形面积 213

8.4.3 曲线积分与路无关的条件 213

8.4.4 二元函数的全微分求积 216

练习8.4 217

本章小结 217

习题8 219

第9章 数学实验 222

9.1 函数与绘图实验 222

9.1.1 实验目的 222

9.1.2 MATLAB操作界面 222

9.1.3 MATLAB变量与操作 223

9.1.4 MATLAB数据运算 225

9.1.5 二维图形绘制 228

9.1.6 空间曲线绘制 231

9.1.7 空间曲面绘制 232

练习9.1 234

9.2 函数极限实验 234

9.2.1 实验目的 234

9.2.2 MATLAB符号运算 234

9.2.3 MATLAB极限运算 236

练习9.2 237

9.3 函数求导及导数应用实验 238

9.3.1 实验目的 238

9.3.2 MATLAB求导运算 238

9.3.3 一元函数极值运算 240

9.3.4 多元函数极值运算 241

9.3.5 Taylor幂级数展开 242

练习9.3 243

9.4 积分实验 244

9.4.1 实验目的 244

9.4.2 MATLAB不定积分计算 244

9.4.3 MATLAB定积分计算 245

练习9.4 246

9.5 常微分方程实验 246

9.5.1 实验目的 246

9.5.2 常微分方程和常微分方程组的求解 246

练习9.5 247

9.6 MATLAB程序设计实验 248

9.6.1 实验目的 248

9.6.2 M文件 248

9.6.3 顺序程序设计 250

9.6.4 分支程序设计 250

9.6.5 循环程序设计 253

练习9.6 255

参考文献 257

练习和习题解答 258