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第1章 典型定解问题的提法 1

1.1 偏微分方程举例和基本概念 1

习题1.1 3

1.2 方程的导出及定解条件 4

1.2.1 弦振动方程及定解条件 4

1.2.2 热传导方程及定解条件 12

习题1.2 16

1.3 定解问题的适定性 16

1.4 二阶线性偏微分方程的分类及化简 21

1.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 22

1.4.2 两个自变量的二阶线性方程的分类 28

1.4.3 多个自变量的二阶线性方程的分类 32

习题1.4 36

第2章 双曲型方程 37

2.1 一维波动方程的初值问题 37

2.1.1 叠加原理 37

2.1.2 弦振动方程的初值问题D'Alembert公式 40

2.1.3 解的依赖区域、决定区域和影响区域波的传播 45

习题2.1 49

2.2 高维波动方程的初值问题 50

2.2.1 三维波动方程的初值问题球平均法 51

2.2.2 二维波动方程的初值问题 57

习题2.2 59

2.3 一维波动方程的混合问题 分离变量法 60

2.3.1 问题的化简 61

2.3.2 分离变量法 61

2.3.3 解的存在性 65

2.3.4 解的物理意义 70

2.3.5 非齐次方程的混合问题 齐次化原理 71

2.3.6 非齐次边值条件的混合问题 74

习题2.3 77

2.4 半无界弦的混合问题 78

习题2.4 80

2.5 波的传播与衰减 81

2.5.1 三维波动的传播 81

2.5.2 二维波动的传播 84

2.5.3 波动方程解的衰减 86

习题2.5 87

2.6 能量积分法 解的唯一性及稳定性 87

2.6.1 混合问题解的唯一性及稳定性 87

2.6.2 能量不等式 初值问题解的唯一性及稳定性 93

习题2.6 98

第3章 抛物型方程 101

3.1 Fourier变换和Laplace变换 101

3.1.1 Fourier积分和Fourier变换 101

3.1.2 Laplace变换 106

3.1.3 Fourier变换和Laplace变换的基本性质 110

习题3.1 116

3.2 初值问题 半无界域上的混合问题 116

3.2.1 用Fourier变换解初值问题 116

3.2.2 用Laplace变换解半无界域上的混合问题 123

习题3.2 124

3.3 混合问题 125

3.3.1 第一边值问题 125

3.3.2 第二边值问题 132

习题3.3 139

3.4 极值原理 解的唯一性及稳定性 141

3.4.1 极值原理 141

3.4.2 初值问题解的唯一性及稳定性 144

3.4.3 混合问题解的唯一性及稳定性 145

习题3.4 147

第4章 椭圆型方程 149

4.1 定解问题的提法 149

习题4.1 152

4.2 分离变量法 152

4.2.1 矩形区域上的Dirichlet问题 152

4.2.2 圆域内的Dirichlet问题 157

4.2.3 Poisson方程的Dirichlet问题 163

习题42 165

4.3 Green公式与Green函数 166

4.3.1 Green公式与基本积分公式 167

4.3.2 Green函数 170

4.3.3 二维单连通区域上的Green函数 180

习题43 182

4.4 极值原理解的唯一性及稳定性 183

4.4.1 极值原理 183

4.4.2 解的唯一性及稳定性 188

4.4.3 调和函数的一些重要性质 192

习题4.4 197

4.5 一般区域上的Dirichlet问题 198

4.5.1 上、下调和函数与上、下函数的概念及基本性质 198

4.5.2 上函数集的下确界函数 203

4.5.3 Dirichlet问题的解 205

习题4.5 210

参考书目 211