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第一章 数学模型概论 1

1.1模型 2

1.2数学模型 2

1.3建立数学模型的一般方法 6

习题 6

第二章 数据处理 7

2.1插值法 7

2.1.1概述 7

2.1.2拉格朗日插值 8

2.1.3差商与牛顿插值公式 12

2.1.4差分与等距节点插值公式 15

2.1.5分段插值法 18

2.1.6三次样条插值函数 20

2.2数值微分 24

2.2.1用差商近似微商 25

2.2.2用插值函数计算微商 26

2.2.3用三次样条函数求数值微分 28

2.3数值积分 31

2.3.1等距节点求积公式（Newton-Cotes公式） 31

2.3.2求积公式的代数精度 33

2.3.3复化求积公式 34

2.3.4变步长求积方法 37

2.3.5求积公式的误差 38

2.3.6龙贝格（Romberg）积分法 39

2.4最小二乘曲线拟合 41

2.4.1关联函数的选择和线性化 42

2.4.2线性最小二乘法 44

2.4.3非线性最小二乘法 58

习题 61

第三章 代数方程（组）的数值解法 66

3.1线性方程组的直接解法 66

3.1.1高斯消去法 66

3.1.2高斯主元素消去法 69

3.1.3高斯-约当消去法及矩阵求逆 71

3.1.4解三对角线方程组和三对角块方程组的追赶法 72

3.1.5 LU分解 76

3.1.6平方根法 79

3.1.7病态方程组和病态矩阵 80

3.2线性方程组的迭代解法 82

3.2.1雅可比迭代法 83

3.2.2高斯-赛德尔迭代法 84

3.2.3基本迭代法的收敛性分析 84

3.2.4松弛迭代法（SOR迭代法） 87

3.3非线性方程求根 89

3.3.1二分法 90

3.3.2迭代法 92

3.3.3威格斯坦（Wegstein）法 96

3.3.4牛顿法 97

3.3.5弦截法 100

3.3.6抛物线法（Muller法） 102

3.4非线性方程组数值解 103

3.4.1高斯-雅可比迭代法 103

3.4.2高斯-赛德尔迭代法 104

3.4.3松弛迭代法 105

3.4.4威格斯坦法 106

3.4.5牛顿-拉夫森法 106

习题 109

第四章 常微分方程数值解 112

4.1引言 112

4.2初值问题 113

4.2.1尤拉法（Euler Methods） 113

4.2.2龙格-库塔法（Runge-KuttaMethods） 121

4.2.3线性多步法 127

4.2.4方法的比较 134

4.2.5一阶联立方程组与高阶方程 134

4.2.6刚性方程组 136

4.3边值问题 139

4.3.1打靶法 139

4.3.2有限差分法 143

习题 149

第五章 拉普拉斯变换 153

5.1定义和性质 153

5.1.1定义 153

5.1.2拉氏变换的存在条件 153

5.1.3性质 155

5.2拉氏逆变换求解方法 162

5.2.1拉氏逆变换的复反演积分——梅林-傅立叶定理 162

5.2.2用部分分式法求拉氏逆变换 163

5.2.3海维塞德（Heaviside）展开式 164

5.2.4卷积定理 167

5.3拉氏变换的应用 168

5.3.1求解常微分方程 168

5.3.2求解线性差分方程 174

5.3.3求解差分微分方程 176

5.3.4求解积分方程 178

习题 179

第六章 场论初步 182

6.1数量场和向量场 182

6.1.1数量场 182

6.1.2向量场 182

6.2向量的导数 183

6.2.1向量对于一个纯量的导数 183

6.2.2向量的求导公式 184

6.2.3向量的偏导数 184

6.3数量场的梯度 186

6.3.1数量场的等值面 186

6.3.2方向导数 186

6.3.3数量场的梯度 187

6.3.4梯度的运算性质 188

6.4向量场的散度 190

6.4.1向量场的通量 190

6.4.2向量场的散度 191

6.4.3散度的运算性质 193

6.4.4散度的应用——流体的连续性方程 193

6.4.5散度定理 194

6.5向量场的旋度 195

6.5.1向量场的环量 195

6.5.2向量场的旋度 196

6.5.3旋度的运算性质 199

6.5.4斯托克斯定理 199

6.6梯度、散度、旋度在柱、球坐标系的表达式 202

6.6.1球坐标系下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式 202

6.6.2柱坐标系下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式 204

6.7场论在化工中的应用 205

6.7.1三种常用的向量场 205

6.7.2流体运动方程 210

6.7.3热传导方程 211

习题 212

第七章 偏微分方程与特殊函数 216

7.1引言 216

7.2二阶偏微分方程分类 217

7.3典型方程的建立 218

7.3.1波动方程 218

7.3.2热传导方程 221

7.3.3稳态方程 224

7.4定解条件和定解问题 225

7.4.1初始条件 225

7.4.2边界条件 225

7.4.3定解问题的提法 228

7.5线性迭加原理 228

7.6分离变量法 229

7.7非齐次边界条件的处理 237

7.8非齐次的泛定方程 240

7.9特殊函数及其在分离变量法中的应用 243

7.9.1贝塞尔方程及其解法 243

7.9.2贝塞尔函数 249

7.9.3贝塞尔函数化工应用实例 255

7.9.4勒让德方程及其解法 260

7.9.5勒让德多项式 263

7.9.6勒让德函数化工应用实例 266

7.10拉普拉斯变换法 269

习题 272

第八章 偏微分方程数值解 280

8.1抛物型方程的差分解法 280

8.1.1显式格式 281

8.1.2隐式格式 282

8.1.3六点格式（Crank-Nicolson法） 283

8.1.4边界条件 287

8.1.5联立方程组 288

8.1.6高阶近似法 294

8.2双曲型方程差分格式 297

8.3椭圆型方程的差分解法 298

8.3.1五点差分格式 298

8.3.2边界条件的处理 299

8.3.3不规则边界条件 304

习题 305

第九章 概率论与数理统计 308

9.1概率论基础 308

9.1.1随机事件及其概率 308

9.1.2随机变量及分布函数 309

9.1.3随机变量的数字特征 317

9.1.4化工过程应用实例 322

9.2统计基础 325

9.2.1总体和样本 326

9.2.2样本的数字特征 326

9.2.3统计量 327

9.3大数定律及中心极限定理 330

9.3.1切比雪夫不等式 330

9.3.2大数定律 331

9.3.3中心极限定理 332

9.4参数估计 333

9.4.1数学期望与方差的点估计 333

9.4.2估计量的评选标准 335

9.4.3参数的区间估计 336

9.5假设检验 340

9.5.1单尾检验与双尾检验 341

9.5.2关于平均值的检验 342

9.5.3两个平均值差别的检验 344

9.5.4关于方差σ2的检验 346

9.5.5比较两个总体的方差 347

习题 348

第十章 数据校正技术 351

10.1绪论 351

10.1.1化工过程数据校正的意义及其应用范围 351

10.1.2数据校正技术的发展与近况 351

10.1.3预备知识 352

10.2稳态过程的数据校正 358

10.2.1稳态过程的数学模型 358

10.2.2线性问题求解 358

10.2.3化工过程数据的分类 368

第十一章 图论 372

11.1图的基本概念 372

11.2图的矩阵表示 374

11.2.1关联矩阵 375

11.2.2邻接矩阵 375

11.3赋权图与赋权图中的最短路径 375

11.4树 377

11.5图的运算 380

11.6有向图 382

习题 384

第十二章 人工智能与专家系统 385

12.1基本概念 385

12.1.1人工智能 385

12.1.2知识 386

12.1.3专家系统 386

12.2知识的表示 387

12.2.1产生式系统的基本结构 387

12.2.2问题求解过程 388

12.2.3对产生式系统的应用与评价 391

12.3知识推理技术 391

12.3.1深度优先搜索法 392

12.3.2广度优先搜索法 392

12.3.3最佳优先搜索 392

附录1 Г函数 394

附录2拉普拉斯变换表 397

附录3向量和矩阵的范数 400

附录4概率函数分布表 403

参考文献 412