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第1章 数列极限 1

1.1 数列与数列极限基本定义 1

1.2 收敛数列的性质 6

1.3 数列极限的推广 13

1.4 单调有界定理及其应用 15

1.5 实数的完备性：Cauchy收敛定理 23

1.6 实数的连续性：上确界下确界存在定理 27

1.7 有限覆盖定理 30

1.8 上极限与下极限的概念及应用 32

1.9 关于实数的连续性与完备性的进一步讨论 35

1.10 数列极限应用举例 38

1.11 混沌现象 40

探索类问题 43

第2章 函数极限与连续 45

2.1 集合的映射 45

2.2 集合的势 48

2.3 函数的基本概念和性质 50

2.4 函数极限的定义与基本理论 54

2.5 连续函数 63

2.6 函数极限的其他形式 70

2.7 收敛速度问题：无穷小与无穷大的阶的比较 74

2.8 函数的一致连续性 78

2.9 有限闭区间上连续函数的性质 82

2.10 关于函数极限和连续的进一步讨论 87

探索类问题 92

第3章 函数的导数 93

3.1 切线和速度问题 93

3.2 导数的定义 94

3.3 导数的运算法则 96

3.4 高阶导数 101

3.5 隐函数和参数方程的求导 105

3.6 微分中值定理 107

3.7 利用导数研究函数 113

3.8 L'Hospital法则 123

3.9 导数综合应用 127

探索类问题 132

第4章 Taylor公式与函数插值逼近 133

4.1 函数的微分：线性逼近 133

4.2 带Peano余项的Taylor定理 135

4.3 带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理 141

4.4 函数插值逼近初步 144

4.5 Taylor公式的应用：Richardson外推 149

探索类问题 153

第5章 不定积分 154

5.1 原函数的定义 154

5.2 不定积分求解策略Ⅰ：第一类换元公式 156

5.3 不定积分策略Ⅱ：分部积分公式 159

5.4 不定积分策略Ⅲ：第二类换元公式 162

5.5 几类特殊函数的不定积分策略 166

探索类问题 174

第6章 函数的Riemann积分与Lebesgue积分初步 177

6.1 定积分的基本概念 177

6.2 可积的条件 182

6.3 微积分的基本定理 190

6.4 定积分的计算：分部积分与换元公式 196

6.5 积分中值定理 200

6.6 关于定积分的进一步讨论：Lebesgue定理 204

6.7 Lebesgue积分初步 209

6.8 定积分的数值计算 212

探索类问题 217

第7章 定积分的应用 218

7.1 微元法 218

7.2 平面图形的面积 219

7.3 旋转曲面的面积 222

7.4 旋转体的体积 224

7.5 平面曲线的弧长 228

7.6 平面曲线的曲率 232

7.7 定积分在物理中的应用 233

探索类问题 238

第8章 广义积分 241

8.1 无穷区间上积分的基本概念和计算 241

8.2 无穷区间上广义积分的收敛性问题 244

8.3 无穷区间广义积分的Dirichlet和Abel判定定理 247

8.4 瑕积分的收敛与计算 250

8.5 关于广义积分几个问题的思考 255

探索类问题 256

第9章 数项级数 257

9.1 数项级数的收敛性 257

9.2 正项级数的比较判别法 262

9.3 正项级数的其他判别法 267

9.4 一般级数的收敛问题 274

9.5 绝对收敛和条件收敛 278

9.6 级数的乘法 282

9.7 无穷乘积 285

探索类问题 289

第10章 函数序列与函数项级数 290

10.1 函数序列和函数项级数的几个基本概念 290

10.2 函数序列的一致收敛性 292

10.3 函数项级数的一致收敛性 296

10.4 函数项级数和函数的性质 302

10.5 幂级数 307

10.6 幂级数的应用 317

探索类问题 319

参考文献 321