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第1章 极限与连续 1

1.1函数 1

1.1.1预备知识 1

1.1.2映射 4

1.1.3函数 6

1.1.4初等函数 11

1.1.5双曲函数与反双曲函数 14

习题1.1 15

1.2数列的极限 16

1.2.1引例（割圆术） 16

1.2.2数列的概念 17

1.2.3数列极限的概念 17

1.2.4收敛数列的性质 20

1.2.5子数列的概念 21

习题1.2 22

1.3函数的极限 22

1.3.1函数极限的概念 23

1.3.2函数极限的性质 27

1.3.3函数极限与数列极限的关系 28

习题1.3 29

1.4无穷小量与无穷大量 29

1.4.1无穷小量 30

1.4.2无穷大量 32

习题1.4 34

1.5极限运算法则 35

1.5.1极限的四则运算法则 35

1.5.2复合函数的极限运算法则 38

习题1.5 40

1.6极限存在准则 两个重要极限 41

1.6.1准则Ⅰ：夹逼准则 41

1.6.2准则Ⅱ：单调有界收敛准则 44

习题1.6 48

1.7无穷小的比较 49

1.7.1无穷小的比较 49

1.7.2无穷小的阶 50

1.7.3等价无穷小的应用 51

习题1.7 52

1.8函数的连续性与间断点 53

1.8.1函数的连续性 53

1.8.2初等函数的连续性 55

1.8.3函数的间断点及其分类 59

习题1.8 62

1.9闭区间上连续函数的性质 63

习题1.9 65

1.10本章小结 66

1.10.1基本要求 66

1.10.2内容提要 66

1.11总习题1 67

第2章 导数与微分 70

2.1导数的定义 70

2.1.1引例 70

2.1.2导数的定义 71

2.1.3求导举例 72

2.1.4导数的几何意义 75

2.1.5函数的可导性与连续性的关系 77

习题2.1 78

2.2求导法则 79

2.2.1函数的和、差、积、商求导法则 79

2.2.2反函数的求导法则 81

2.2.3复合函数的求导法则 82

2.2.4基本求导法则与导数公式 84

2.2.5隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 86

习题2.2 90

2.3高阶导数及相关变化率 91

2.3.1高阶导数 91

2.3.2相关变化率 96

习题2.3 98

2.4微分 99

2.4.1微分的概念 99

2.4.2微分的运算法则及基本公式 102

2.4.3高阶微分 104

习题2.4 105

2.5本章小结 106

2.5.1基本要求 106

2.5.2内容提要 106

2.6总习题2 107

第3章 微分中值定理与导数的应用 110

3.1微分中值定理 110

3.1.1费马（Fermat）引理 110

3.1.2罗尔（Rolle）定理 111

3.1.3拉格朗日（Lagrange）中值定理 112

3.1.4柯西（Cauchy）中值定理 114

习题3.1 116

3.2洛必达（L Hospital）法则 117

3.2.1 0/0型极限 117

3.2.2 ∞/∞型极限 119

3.2.3 0·∞，∞-∞ ，？，∞？，1∞型极限 120

习题3.2 122

3.3泰勒（Taylor）公式 123

3.3.1泰勒多项式 123

3.3.2泰勒中值定理 124

3.3.3基本初等函数的麦克劳林公式 126

习题3.3 129

3.4函数的单调性和极值 130

3.4.1函数单调性的判定方法 130

3.4.2函数的极值 132

3.4.3函数的最值 135

习题3.4 138

3.5函数图形的描绘 139

3.5.1曲线的凹凸性与拐点 139

3.5.2曲线的渐近线 142

3.5.3函数的作图 143

习题3.5 145

3.6平面曲线的曲率 146

3.6.1弧微分 146

3.6.2曲率及其计算公式 147

3.6.3曲率圆和曲率半径 148

习题3.6 149

3.7本章小结 149

3.7.1基本要求 149

3.7.2内容提要 150

3.8总习题3 151

第4章 不定积分 153

4.1不定积分的概念与性质 153

4.1.1原函数的概念 153

4.1.2不定积分的概念 154

4.1.3基本积分公式 156

4.1.4不定积分的基本运算法则 156

习题4.1 159

4.2换元积分法 159

4.2.1第一类换元法（凑微分法） 159

4.2.2第二类换元法 165

习题4.2 170

4.3分部积分法 171

习题4.3 176

4.4有理函数和可化为有理函数的积分 177

4.4.1有理函数的积分 177

4.4.2可化为有理函数的积分 181

习题4.4 184

4.5本章小结 184

4.5.1基本要求 184

4.5.2内容提要 185

4.6总习题4 186

第5章 定积分及其应用 188

5.1定积分的概念 188

5.1.1引例 188

5.1.2定积分的概念 190

5.1.3定积分的几何意义 193

习题5.1 194

5.2定积分的性质 195

习题5.2 199

5.3微积分基本定理 200

5.3.1积分变上限函数及其导数 201

5.3.2微积分的基本定理（牛顿-莱布尼茨公式） 204

习题5.3 205

5.4定积分的换元法与分部积分法 207

5.4.1定积分的换元积分法 207

5.4.2定积分的分部积分法 212

习题5.4 215

5.5广义积分 216

5.5.1无穷区间上的广义积分 216

5.5.2无界函数的广义积分 218

5.5.3非负函数广义积分的判敛法则 220

习题5.5 222

5.6定积分的几何应用 223

5.6.1微元法基本思想 223

5.6.2平面图形的面积 224

5.6.3体积 228

5.6.4平面曲线的弧长 230

习题5.6 232

5.7定积分的物理应用 233

5.7.1变力沿直线做功 233

5.7.2液体对薄板的侧压力 235

5.7.3引力 235

习题5.7 236

5.8本章小结 237

5.8.1基本要求 237

5.8.2内容提要 237

5.9总习题5 240

第6章 常微分方程 243

6.1微分方程的基本概念 243

6.1.1引例 243

6.1.2微分方程的概念 244

6.1.3微分方程的解 245

习题6.1 246

6.2一阶微分方程 247

6.2.1可分离变量的微分方程 248

6.2.2一阶线性微分方程 251

6.2.3几类可降阶的高阶微分方程 255

习题6.2 259

6.3高阶线性微分方程 261

6.3.1高阶线性微分方程解的结构 261

6.3.2常系数线性微分方程 264

6.3.3欧拉（Euler）方程 275

习题6.3 277

6.4微分方程的应用 279

习题6.4 286

6.5本章小结 287

6.5.1基本要求 287

6.5.2内容提要 287

6.6总习题6 289

习题参考答案与提示 291

参考书目 314