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第1章 函数 1

1.1 函数概念 1

1.1.1 函数举例 1

1.1.2 函数的定义与表示法 2

1.1.3 建立函数关系举例 3

习题1.1 4

1.2 函数的几个特性 6

1.2.1 函数的奇偶性 6

1.2.2 函数的单调性 6

1.2.3 函数的有界性 7

1.2.4 函数的周期性 8

习题1.2 9

1.3 反函数 10

习题1.3 12

1.4 基本初等函数 13

习题1.4 15

1.5 复合函数 初等函数 16

1.5.1 复合函数 16

1.5.2 初等函数 17

习题1.5 19

第2章 极限与连续 20

2.1 数列及其极限 20

2.1.1 数列 20

2.1.2 数列的极限 21

2.1.3 几何解释 23

2.1.4 证明数列极限的例题 24

2.1.5 数列的有界性 26

2.1.6 数列极限的四则运算法则 27

2.1.7 关于数列的变化趋势的小结 29

习题2.1 30

2.2 函数的极限 31

2.2.1 自变量绝对值无限增大时函数的极限 31

2.2.2 当自变量趋近于有限值时函数的极限 33

2.2.3 单侧极限 36

2.2.4 函数极限不存在的几种情形 37

习题2.2 37

2.3 无穷小和无穷大 38

2.3.1 无穷小 38

2.3.2 具有极限的变量与无穷小的关系 38

2.3.3 无穷大 39

2.3.4 无穷大与无穷小的关系 39

2.3.5 无穷小的运算法则 40

习题2.3 42

2.4 函数极限的运算法则 43

2.4.1 函数极限的简单性质 43

2.4.2 函数极限的运算法则 43

习题2.4 50

2.5 极限存在的两个判定法则 两个重要极限 51

习题2.5 56

2.6 无穷小的比较 57

习题2.6 60

2.7 函数连续性的概念 61

2.7.1 函数连续性的定义 61

2.7.2 函数的间断点 64

习题2.7 67

2.8 连续函数的运算和初等函数的连续性 68

2.8.1 连续函数的和差积商的连续性 68

2.8.2 反函数和复合函数的连续性 68

2.8.3 初等函数的连续性 69

习题2.8 71

2.9 闭区间上连续函数的性质 72

2.9.1 最大值最小值定理 72

2.9.2 介值定理 73

习题2.9 73

第3章 导数与微分 74

3.1 导数的概念 74

3.1.1 函数瞬时变化率问题实例 74

3.1.2 导数的定义 76

3.1.3 计算导数举例 77

3.1.4 导数的几何意义及其在几何上的应用 79

3.1.5 函数的可导性与连续性之间的关系 80

习题3.1 82

3.2 导数的运算 83

3.2.1 函数和、差的求导法则 83

3.2.2 函数乘积的导数 84

3.2.3 两函数之商的导数 85

3.2.4 复合函数的导数 86

习题3.2 90

3.3 反函数的导数 初等函数的求导问题 91

3.3.1 反函数的导数 91

3.3.2 反三角函数的导数 93

3.3.3 初等函数的求导问题 94

3.3.4 导数的实际应用举例 95

习题3.3 97

3.4 高阶导数 99

习题3.4 101

3.5 隐函数的导数 参数方程所确定的函数的导数 102

3.5.1 隐函数的导数 102

3.5.2 对数求导法 104

3.5.3 由参数方程所确定的函数的导数 105

习题3.5 107

3.6 微分的概念与计算 108

3.6.1 微分的概念 109

3.6.2 微分的几何意义 110

3.6.3 微分公式表与微分运算法则 111

3.6.4 一阶微分形式不变性 111

习题3.6 113

3.7 微分的应用 115

3.7.1 微分在近似计算中的应用 115

3.7.2 微分在误差估计中的应用 116

习题3.7 118

第4章 中值定理和导数的应用 119

4.1 中值定理 119

4.1.1 罗尔定理 119

4.1.2 拉格朗日中值定理 121

4.1.3 柯西中值定理 123

习题41 125

4.2 洛必达法则 126

4.2.1 0/0型未定式 126

4.2.2 ∞/∞型未定式 129

4.2.3 其他类型未定式 131

习题4.2 134

4.3 函数单调性的判定法 135

习题4.3 137

4.4 函数的极值及其求法 138

4.4.1 极值的概念 138

4.4.2 极值的求法 139

习题4.4 143

4.5 最大值和最小值的求法 144

习题4.5 148

4.6 曲线的凹凸性和拐点 149

习题4.6 152

4.7 函数图形的描绘 153

习题4.7 157

4.8 方程的近似解 158

习题4.8 161

4.9 平面曲线的曲率 162

4.9.1 弧微分 162

4.9.2 曲率及其计算公式 163

4.9.3 曲率圆和曲率半径 165

习题4.9 167

第5章 不定积分 168

5.1 不定积分的概念 168

5.1.1 原函数的概念 168

5.1.2 不定积分的概念 169

5.1.3 不定积分的几何意义 170

习题5.1 171

5.2 基本积分表和最简单的积分法则 172

5.2.1 基本积分表 172

5.2.2 最简单的积分法则 173

习题5.2 176

5.3 第1类换元积分法 177

习题5.3 183

5.4 第2类换元积分法 185

习题5.4 189

5.5 分部积分法 190

习题5.5 194

5.6 有理函数的不定积分 195

5.6.1 最简分式和它们的不定积分 195

5.6.2 有理函数的分解 198

5.6.3 有理函数的不定积分 199

习题5.6 203

5.7 三角函数有理式的不定积分 204

习题 5.7 205

5.8 简单无理式的不定积分 206

习题5.8 207

5.9 积分表的使用 208

习题5.9 210

第6章 定积分及其应用 211

6.1 定积分的概念 211

6.1.1 两个实例 211

6.1.2 定积分的定义 214

6.1.3 定积分的几何意义 216

6.1.4 按定义求定积分的例 216

习题6.1 217

6.2 定积分的基本性质 218

习题6.2 220

6.3 牛顿-莱布尼茨公式 221

6.3.1 变上限定积分及其导数 221

6.3.2 牛顿-莱布尼茨公式 222

习题6.3 226

6.4 定积分的换元积分法和分部积分法 227

6.4.1 定积分的换元积分法 227

6.4.2 定积分的分部积分法 230

习题6.4 233

6.5 定积分的近似计算 234

6.5.1 矩形法 234

6.5.2 梯形法 234

6.5.3 抛物线法 235

习题6.5 237

6.6 极坐标 238

6.6.1 极坐标系 238

6.6.2 曲线的极坐标方程 239

6.6.3 极坐标和直角坐标的互化 240

6.6.4 等速螺线 241

习题6.6 243

6.7 定积分在几何上的应用 244

6.7.1 平面图形的面积 244

6.7.2 体积 251

6.7.3 平面曲线的弧长 253

习题6.7 256

6.8 定积分在物理上的应用 257

6.8.1 已知速度求路程 257

6.8.2 变力所做的功 257

6.8.3 静止液体内的压力 258

6.8.4 平均值 260

习题6.8 263

6.9 广义积分 264

6.9.1 无穷限的广义积分 264

6.9.2 无界函数的广义积分 267

6.9.3 无穷限广义积分的审敛法 270

6.9.4 无界函数的广义积分的审敛法 273

6.9.5 Γ-函数 274

习题6.9 276

附录 积分表 277

部分习题答案或提示 286

索引 299