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第一章 函数与极限 1

1-1 函数 1

1-1.1 函数的概念 1

1-1.2 分段函数、反函数、复合函数 3

1-1.3 初等函数 5

1-2 函数的极限 7

1-2.1 数列的极限 7

1-2.2 函数的极限 9

1-2.3 无穷小量与无穷大量 12

1-2.4 函数极限的运算 13

1-3 极限存在定理与两个重要极限 16

1-3.1 极限存在定理 16

1-3.2 两个重要极限 16

1-4 函数的连续性 18

1-4.1 函数的增量 18

1-4.2 函数的连续与间断 19

1-4.3 初等函数的连续性 21

习题一 22

第二章 导数与微分 26

2-1 导数的概念 26

2-1.1 导数的定义 26

2-1.2 函数连续性与可导性的关系 29

2-1.3 几个基本初等函数的导数 29

2-2 求导法则 31

2-2.1 导数的四则运算法则 31

2-2.2 反函数的求导法则 33

2-2.3 复合函数的求导法则 35

2-2.4 隐函数的求导法则 37

2-2.5 由参数方程所确定的函数的求导法则 39

2-2.6 高阶导数 40

2-3 微分概念 41

2-3.1 微分的定义及几何意义 41

2-3.2 微分的求法、微分形式不变性 42

2-4 微分的应用 43

2-4.1 近似计算 43

2-4.2 误差估计 45

习题二 46

第三章 导数的应用 49

3-1 中值定理 49

3-2 洛必达法则 52

3-2.1 两个无穷小量之比的极限 52

3-2.2 两个无穷大量之比的极限 52

3-2.3 其他未定型极限的求法 53

3-3 函数性态的研究 53

3-3.1 函数的增减性和极值 54

3-3.2 曲线的凹凸与拐点 57

3-3.3 曲线的渐近线 59

3-3.4 函数图形的描绘 61

习题三 63

第四章 不定积分 66

4-1 不定积分的概念与性质 66

4-1.1 原函数 66

4-1.2 不定积分的概念 66

4-1.3 不定积分的几何意义 67

4-1.4 不定积分的简单性质 67

4-2 不定积分的基本公式 68

4-2.1 基本公式 68

4-2.2 直接积分法 69

4-3 两种积分法 70

4-3.1 换元积分法 70

4-3.2 分部积分法 77

4-4 有理函数与三角函数有理式的积分 81

4-4.1 有理函数的积分 81

4-4.2 三角函数有理式的积分 83

习题四 85

第五章 定积分及其应用 88

5-1 定积分的概念 88

5-1.1 两个实际问题 88

5-1.2 定积分的概念 89

5-2 定积分的简单性质 91

5-3 定积分的计算 93

5-3.1 牛顿－莱布尼茨公式 93

5-3.2 定积分的换元积分法和分部积分法 94

5-4 定积分的应用 96

5-4.1 平面图形的面积 97

5-4.2 旋转体的体积 99

5-4.3 平面曲线的弧长 100

5-4.4 函数在区间上的平均值 102

5-4.5 变力所做的功 102

5-4.6 液体的静压力 104

5-5 广义积分和Γ函数 105

5-5.1 广义积分 105

5-5.2 Γ函数 107

习题五 108

第六章 空间解析几何 111

6-1 空间直角坐标系 111

6-1.1 空间直角坐标系 111

6-1.2 空间两点间的距离 112

6-2 向量代数 113

6-2.1 向量及其坐标表示 113

6-2.2 向量的数量积 117

6-2.3 向量的向量积 118

6-3 空间的平面与直线 120

6-3.1 空间平面及其方程 120

6-3.2 空间直线及其方程 123

6-4 空间的曲面与曲线 126

6-4.1 空间曲面及其方程 126

6-4.2 二次曲面 126

6-4.3 空间曲线及其方程 131

习题六 132

第七章 多元函数微分学 135

7-1 多元函数的概念 135

7-1.1 多元函数的概念 135

7-1.2 二元函数的极限 137

7-1.3 二元函数的连续性 138

7-2 多元函数的偏导数 139

7-2.1 偏导数的概念与计算 139

7-2.2 偏导数的几何意义 141

7-2.3 偏导数与连续的关系 141

7-2.4 高阶偏导数 141

7-3 多元函数的全微分及其应用 143

7-3.1 全增量与全微分的概念 143

7-3.2 全微分在近似计算上的应用 144

7-4 多元复合函数与隐函数的微分法 145

7-4.1 连锁法则 145

7-4.2 隐函数的微分法 148

7-4.3 全微分形式不变性 149

7-5 多元函数的极值 150

7-5.1 多元函数的极值 150

7-5.2 多元函数的最值 152

7-5.3 多元函数的条件极值 153

习题七 155

第八章 多元函数积分学 158

8-1 二重积分的概念及简单性质 158

8-1.1 二重积分的概念 158

8-1.2 二重积分的简单性质 160

8-2 二重积分的计算 161

8-2.1 直角坐标系中二重积分的计算方法 161

8-2.2 利用极坐标计算二重积分 167

8-3 对弧长的曲线积分 171

8-3.1 对弧长的曲线积分的概念及其简单性质 171

8-3.2 对弧长的曲线积分的计算 172

8-4 对坐标的曲线积分 174

8-4.1 对坐标的曲线积分的概念及简单性质 174

8-4.2 对坐标的曲线积分的计算 176

8-5 格林公式及其应用 179

8-5.1 格林公式 179

8-5.2 曲线积分与路径无关的条件 182

习题八 185

第九章 微分方程 188

9-1 基本概念 188

9-1.1 实例 188

9-1.2 微分方程及其阶 189

9-1.3 微分方程的解 189

9-2 可分离变量的微分方程 190

9-3 一阶线性微分方程 194

9-4 可降价的二阶微分方程 198

9-4.1 y″=f（x）型的二阶微分方程 199

9-4.2 y″=f（x，y′）型的二阶微分方程 199

9-4.3 y″=f（y，y′）型的二阶微分方程 200

9-5 二阶常系数线性微分方程 201

9-5.1 二阶线性微分方程的解的结构 201

9-5.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 203

9-5.3 二阶常系数线性非齐次方程的解法 206

9-6 拉普拉斯变换 208

9-6.1 拉普拉斯变换的基本概念 209

9-6.2 拉氏变换的基本性质 211

9-6.3 拉氏逆变换 212

9-6.4 利用拉氏变换解微分方程的初值问题 214

习题九 217

第十章 无穷级数 220

10-1 常数项级数的概念及性质 220

10-1.1 常数项级数的概念 220

10-1.2 无穷级数的基本性质 221

10-2 常数项级数的敛散性 224

10-2.1 正项级数及其审敛法 224

10-2.2 任意项级数 228

10-2.3 交错级数及其审敛法 229

10-3 幂级数 230

10-3.1 函数项级数的概念 230

10-3.2 幂级数及其收敛性 231

10-3.3 幂级数的运算 234

10-4 函数的幂级数展开及其应用 235

10-4.1 泰勒公式与泰勒级数 235

10-4.2 函数的幂级数展开 237

10-4.3 函数展成幂级数的应用 239

10-5 傅里叶级数 243

10-5.1 三角级数 244

10-5.2 三角函数系的正交性 244

10-5.3 函数展开成傅里叶级数 245

习题十 251

习题答案 253