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第1章 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间 1

一、线性空间的概念 1

二、线性空间的基与维数 2

三、坐标 3

四、基变换与坐标变换 5

五、子空间 8

一、欧氏空间与酉空间 12

1.2 内积空间 12

二、标准正交基 15

1.3 线性变换 17

一、线性变换 18

二、线性变换的矩阵 20

三、不变子空间 23

四、正交变换与酉变换 24

习题一 27

2.1 线性变换的对角矩阵表示 31

一、线性变换的特征值与特征向量 31

第2章 Jordan标准形介绍 31

二、线性变换矩阵的对角化 33

2.2 Jordan矩阵介绍 35

一、Jordan矩阵 35

二、Jordan标准形的求法 36

2.3 最小多项式 42

一、矩阵多项式 42

二、方阵的化零多项式 45

三、最小多项式 47

习题二 50

第3章 矩阵的分解 53

3.1 常见的矩阵标准形与分解 53

一、矩阵的三角分解 53

二、矩阵的满秩分解 59

三、可对角化矩阵的谱分解 63

3.2 Schur分解与正规矩阵 66

一、Schur分解 66

二、正规矩阵 68

3.3 矩阵的奇异值分解 71

一、矩阵的奇异值及其性质 71

二、矩阵的奇异值分解 73

习题三 75

第4章 矩阵的广义逆 77

4.1 矩阵的左逆与右逆 77

一、满秩矩阵与单侧逆 77

二、单侧逆与解线性方程组 78

4.2 广义逆矩阵 79

一、减号广义逆 79

二、Moore-Penrose广义逆(加号广义逆) 81

一、投影变换与投影矩阵 84

4.3 投影变换 84

二、正交投影变换与正交投影矩阵 85

4.4 最佳的最小二乘解 87

习题四 90

第5章 矩阵分析 92

5.1 向量范数 92

一、向量范数的概念 92

二、向量范数的连续性与等价性 93

5.2 矩阵范数 94

一、矩阵范数的概念 95

二、诱导范数 96

5.3 向量序列和矩阵序列的极限 97

5.4 矩阵幂级数 100

一、谱半径 100

二、矩阵幂级数 102

5.5 矩阵函数 104

一、矩阵函数的定义与性质 105

二、矩阵函数的求法 106

5.6 函数矩阵的微分与积分 110

一、一阶线性常系数齐次微分方程组 111

5.7 矩阵函数的应用 111

二、一阶线性常系数非齐次微分方程组 112

习题五 114

第6章 非负矩阵介绍 116

6.1 非负矩阵 116

6.2 正矩阵 119

6.3 素矩阵 123

习题答案与提示 126

参考书目 134