实变函数入门 高师交流讲义PDF电子书下载

编者的话 1

第一章 集合论初步 1

1 逻辑与“反话” 1

2 集合的概念及集合之间的关系 5

3 集合的运算 9

4 集合的对等 18

5 可数集 21

6 不可数集 24

什么是次序 28

复数为什么没有大小 31

序数与基数有何关系 34

习题 37

第二章 点集 41

1 聚点与波尔查诺——维尔斯特拉斯定理 41

2 闭集与波雷尔有限覆盖定理 43

3 内点与开集 47

4 开区间与开集 50

5 点集间的距离 53

什么是曲线，曲线会不会填满一个正方形 56

习题 59

第三章 勒贝格测度 62

1 勒贝格外测度 64

2 勒贝格可测集 68

3 可测集类 76

4 开集与可测集 79

什么是长度，什么是面积 86

习题 91

第四章 可测函数 93

1 可测函数的概念及其性质 93

2 简单函数与可测函数 99

3 一致收敛与几乎处处收敛 103

4 连续函数与可测函数 109

什么是函数 118

连续函数的三种定义 119

习题 120

1 非负简单函数的积分 124

第五章 勒贝格积分 124

2 非负可测函数的积分 130

3 一般可测函数的积分 132

4 积分号下取极限 139

5 黎曼积分与勒贝格积分 146

勒贝格积分在数学分析中的一些应用 154

牛顿—莱布尼兹公式 158

习题 161

附录A 关于非负可测函数积分定义的唯一确定性的证明 165

附录B 关于依测度收敛、几乎处处收敛以及几乎一致收敛的相互关系 168

附录C 集合论的悖论 173