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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种特性 3

1.1.3 初等函数 6

1.1.4 函数模型的建立 11

1.2 极限的概念 12

1.2.1 数列的极限 12

1.2.2 函数的极限 14

1.3 无穷小与无穷大 18

1.3.1 无穷小量 18

1.3.2 无穷大量 19

1.3.3 无穷小的比较 20

1.4 极限的运算 22

1.4.1 极限的四则运算法则 22

1.4.2 两个重要极限 24

1.4.3 利用等价无穷小求极限 28

1.5 函数的连续性 28

1.5.1 函数的连续与间断 28

1.5.2 初等函数的连续性 33

1.5.3 闭区间上连续函数的性质 35

本章小结 36

复习题 39

第2章 导数与微分 44

2.1 导数的概念 44

2.1.1 导数的背景 44

2.1.2 导数的定义 45

2.1.3 导数的几何意义 49

2.1.4 可导与连续的关系 49

2.2 导数的运算 50

2.2.1 导数的四则运算法则 51

2.2.2 复合函数求导法则 53

2.2.3 反函数的求导法则 55

2.2.4 隐函数的导数 57

2.2.5 高阶导数 59

2.2.6 参数式函数的导数 61

2.2.7 求导公式和法则汇总 62

2.3 微分及其应用 63

2.3.1 微分的概念 64

2.3.2 微分的运算 65

2.3.3 微分的应用 67

本章小结 69

复习题 71

第3章 导数的应用 75

3.1 洛比达法则 75

3.1.1 0／0型未定式 75

3.1.2 ∞／∞型未定式 76

3.1.3 其他类型未定式 77

3.2 函数的单调性与曲线的凹凸性 78

3.2.1 拉格朗日中值定理 79

3.2.2 函数的单调性 79

3.2.3 曲线的凹凸与拐点 81

3.3 函数的极值与最值 83

3.3.1 函数的极值 83

3.3.2 函数的最大值与最小值 86

3.4 微分法作图 89

3.4.1 曲线的渐近线 90

3.4.2 函数图形的描绘 91

本章小结 94

复习题 96

第4章 不定积分 100

4.1 不定积分及其基本运算 100

4.1.1 不定积分的概念 100

4.1.2 积分的基本公式和法则 103

4.1.3 直接积分法 105

4.2 第一类换元法 106

4.3 第二类换元法 112

4.4 分部积分法 117

本章小结 120

复习题 123

第5章 定积分及其应用 126

5.1 定积分的概念与性质 126

5.1.1 定积分的背景 126

5.1.2 定积分的定义 129

5.1.3 定积分的几何意义 130

5.1.4 定积分的性质 132

5.2 微积分基本公式 135

*5.2.1 积分上限函数 135

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 137

5.3 定积分的积分法 139

5.3.1 定积分的换元积分法 139

5.3.2 定积分的分部积分法 140

5.4 定积分的应用 142

5.4.1 定积分的几何应用 142

5.4.2 定积分的物理应用 149

5.5 无穷区间上的广义积分 152

本章小结 154

复习题 156

第6章 常微分方程 160

6.1 微分方程的基本概念 160

6.2 一阶微分方程 163

6.2.1 可分离变量的微分方程 163

6.2.2 一阶线性微分方程 165

6.3 二阶常系数线性微分方程 169

6.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程 169

6.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 171

6.4 微分方程的应用 175

6.4.1 一阶微分方程应用举例 176

6.4.2 二阶微分方程应用举例 179

本章小结 181

复习题 183

第7章 线性代数基本知识 186

7.1 行列式 186

7.1.1 行列式的概念 186

7.1.2 行列式的性质 190

7.1.3 克拉默法则 194

7.2 矩阵及其运算 195

7.2.1 矩阵的概念 195

7.2.2 矩阵的运算 198

7.3 初等变换与矩阵的秩 203

7.3.1 矩阵的初等变换 203

7.3.2 矩阵的秩 206

7.4 逆矩阵 208

7.4.1 逆矩阵的概念与性质 208

7.4.2 逆矩阵的求法 209

7.4.3 用逆矩阵解线性方程组 212

7.5 线性方程组解的判定 213

7.5.1 非齐次线性方程组解的讨论 213

7.5.2 齐次线性方程组解的讨论 215

本章小结 217

复习题 220

第8章 概率基本知识 226

8.1 随机事件 226

8.1.1 随机现象与随机事件 226

8.1.2 事件间的关系与运算 227

8.2 事件的概率 230

8.2.1 频率与概率 230

8.2.2 古典概型 231

8.2.3 加法公式 233

8.3 条件概率与乘法公式 234

8.3.1 条件概率 234

8.3.2 乘法公式 235

8.4 事件的独立性 237

8.4.1 事件的独立性 237

8.4.2 伯努利概型 238

8.5 随机变量及其分布 239

8.5.1 随机变量的概念 239

8.5.2 离散型随机变量 240

8.5.3 连续型随机变量 243

8.6 随机变量的数字特征 249

8.6.1 数学期望 249

8.6.2 方差 252

本章小结 256

复习题 259

第9章 数据处理 265

9.1 点估计与频率直方图 265

9.1.1 点估计 265

9.1.2 频率直方图 267

9.2 一元线性回归 270

9.2.1 相关关系与相关系数 270

9.2.2 一元线性回归方程 273

本章小结 274

复习题 275

附录A 数学软件MATLAB应用简介 278

附录B 数学建模简介 288

附录C 初等数学常用公式 299

附表1 泊松分布表 305

附表2 标准正态分布表 307

复习题参考答案 308