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第一章 函数、极限与连续 1

1.1函数 1

一、函数概念 1

二、函数的基本性态 3

三、反函数 4

四、初等函数 4

五、建立函数关系举例 6

习题1.1 6

1.2极限概念 7

一、数列的极限 7

二、函数的极限 9

三、无穷小与无穷大的概念 11

四、极限的精确定义 13

习题1.2 14

1.3极限运算 15

一、极限运算法则 15

二、两个重要极限 16

三、无穷小的比较 19

习题1.3 20

1.4函数的连续性 21

一、函数的连续性 21

二、间断点及其分类 23

三、初等函数的连续性 24

四、闭区间上连续函数的性质 25

习题1.4 26

知识拓展：常见经济函数的介绍 27

典型实例分析 29

一、连续复利问题 29

二、四脚方椅的稳定问题 30

学习指导 31

复习题一 33

第二章 导数与微分 37

2.1导数概念 37

一、引例 37

二、导数的概念 38

三、导数的几何意义 42

四、可导与连续的关系 43

习题2.1 44

2.2求导法则 44

一、导数的四则运算法则 44

二、反函数的求导法则 46

三、复合函数的求导法则 46

四、隐函数求导法 48

五、基本初等函数的求导公式 49

六、参数方程所表示函数的导数 50

习题2.2 50

2.3高阶导数 51

习题2.3 53

2.4函数的微分 54

一、微分的定义 54

二、微分的几何意义 56

三、微分公式与运算法则 56

四、微分形式不变性 57

习题2.4 57

知识拓展：微分在近似计算中的应用 58

典型实例分析 59

一、导数在经济学中的含义 59

二、经济量的弹性问题 60

三、人影移动的速率问题 61

学习指导 61

复习题二 64

第三章 导数的应用 68

3.1洛必达法则 68

一、“O/O”型和“∞/∞”型未定式 68

二、其他类型极限求法 71

习题3.1 71

3.2函数的单调性和极值 72

一、函数的单调性 72

二、函数的极值 74

三、最大值与最小值问题 76

习题3.2 78

3.3曲线的凹凸性与拐点 78

习题3.3 80

3.4函数作图 80

一、曲线的渐近线 80

二、函数图形的描绘 81

习题3.4 82

知识拓展：微分中值定理 82

典型实例分析 85

一、利润最大问题 85

二、计算机为何采用二进制 85

学习指导 87

复习题三 91

第四章 不定积分 95

4.1不定积分的概念与性质 95

一、原函数与不定积分的概念 95

二、不定积分的几何意义 96

三、不定积分的性质 97

四、基本积分公式 97

五、直接积分法 98

习题4.1 99

4.2换元积分法 99

一、第一类换元积分法（凑微分法） 100

二、第二类换元积分法 102

习题4.2 105

4.3分部积分法 106

习题4.3 109

4.4积分表的使用 110

一、直接代入表中公式求解 110

二、先变形或进行变量替换，再查表求积分 110

三、利用递推关系式查表求解 110

习题4.4 111

知识拓展：几种特殊类型函数的积分 111

典型实例分析 117

一、他的胰脏正常吗 117

二、用马尔萨斯人口方程预测人口总数 117

学习指导 118

复习题四 124

第五章 定积分及其应用 126

5.1定积分的概念与性质 126

一、引例 126

二、定积分的定义 128

三、定积分的几何意义 129

四、定积分的性质 130

习题5.1 133

5.2定积分的计算 133

一、牛顿-莱布尼兹公式 133

二、定积分的换元积分法 134

三、定积分的分部积分法 136

习题5.2 137

5.3定积分的应用 137

一、微元法简介 137

二、定积分的几何应用 138

三、定积分的物理应用和经济应用举例 142

习题5.3 143

5.4广义积分 144

一、无穷区间上的广义积分 144

二、无界函数的广义积分 145

习题5.4 146

知识拓展：积分上限的函数及其导数 147

典型实例分析 149

一、储存费问题 149

二、车辆的平均行驶速度问题 150

学习指导 150

复习题五 154

第六章 常微分方程 159

6.1微分方程的基本概念 159

习题6.1 161

6.2一阶微分方程 161

一、可分离变量的微分方程 162

二、齐次方程 163

三、一阶线性微分方程 165

习题6.2 168

6.3二阶常系数线性微分方程 168

一、线性微分方程解的结构 168

二、二阶常系数线性齐次微分方程 170

三、二阶常系数线性非齐次微分方程 172

习题6.3 175

知识拓展 176

一、可降阶的二阶微分方程 176

二、伯努利方程 177

典型实例分析 179

一、招生问题 179

二、破案问题 179

学习指导 180

复习题六 185

第七章 空间解析几何及向量代数 187

7.1空间直角坐标系 187

一、空间点的坐标 187

二、空间两点间的距离 188

习题7.1 189

7.2空间向量 189

一、向量的概念 189

二、向量的加减法与向量的数乘 190

三、向量的坐标表示 191

四、向量的数量积 193

五、向量的向量积 195

习题7.2 197

7.3平面及其方程 197

一、平面方程 197

二、平面之间的关系 200

三、点到平面的距离 201

习题7.3 201

7.4空间直线及其方程 201

一、直线方程 201

二、两直线的夹角 203

三、直线与平面的夹角 204

习题7.4 204

知识拓展：空间曲面与空间曲线 205

典型实例分析 211

一、垂直渡河问题 211

二、光线的反射问题 212

学习指导 212

复习题七 217

第八章 多元函数微积分学 219

8.1多元函数的基本概念 219

一、多元函数的概念 219

二、二元函数的几何意义 221

三、二元函数的极限 221

四、二元函数的连续性 222

习题8.1 223

8.2偏导数 224

一、偏导数的定义及其计算法 224

二、高阶偏导数 226

习题8.2 227

8.3全微分 228

一、全微分的定义 228

二、全微分的计算法 229

三、全微分在近似计算中的应用 229

习题8.3 230

8.4多元复合函数和隐函数的求导法 230

一、多元复合函数的求导法 230

二、隐函数的求导法 233

习题8.4 234

8.5偏导数的应用 235

一、二元函数的极值 235

二、最大值与最小值问题 236

三、条件极值 237

四、偏导数的几何应用 238

习题8.5 240

8.6二重积分的概念与性质 240

一、二重积分的概念 240

二、二重积分的性质 243

习题8.6 244

8.7二重积分的计算 244

一、利用直角坐标计算二重积分 244

二、利用极坐标计算二重积分 248

习题8.7 251

8.8二重积分的应用举例 251

一、求体积 251

二、求曲面的面积 252

三、求平面薄板的质量 253

习题8.8 253

知识拓展：简单经济问题中的最大值、最小值求法 253

典型实例分析 255

一、洗衣淘米问题——节约用水很重要 255

二、火山喷发后高度的变化问题 256

学习指导 256

复习题八 263

第九章 无穷级数 268

9.1常数项级数的概念与性质 268

一、常数项级数的概念 268

二、常数项级数的性质 271

三、级数收敛的必要条件 272

习题9.1 272

9.2常数项级数的审敛法 273

一、正项级数及其审敛法 273

二、交错级数及其审敛法 276

三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 277

习题9.2 279

9.3幂级数 279

一、函数项级数的一般概念 279

二、幂级数及其收敛区间的求法 280

三、幂级数的运算 283

习题9.3 285

9.4函数展开成幂级数 285

一、泰勒级数 285

二、函数展开成幂级数 286

习题9.4 289

知识拓展：根值判别法 290

典型实例分析 291

一、齐诺悖论问题 291

二、银行存款问题 292

学习指导 293

复习题九 304

第十章 软件应用 307

10.1 MATLAB简介 307

一、MATLAB概述 307

二、MATLAB的基本运算与函数 308

三、函数绘图 310

10.2 MATLAB在微积分中的应用 313

一、求一元函数的极限 313

二、求一元函数的导数 313

三、求一元函数的积分 315

四、解常微分方程 315

五、求偏导数 316

六、求二重积分 317

七、进行级数运算 318

附录一 基本初等函数的图形及其主要性质 320

附录二 常用数学公式 323

附录三 希腊字母表 328

附录四 简易积分表 329

附录五 极坐标系和复数简介 338

附录六 数学建模方法简述 341

参考答案 345

参考文献 360