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1 函数、极限与连续 1

1.1 函数及其性质 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 函数的概念 3

1.1.3 函数的表示法 4

1.1.4 函数的几种特性 6

1.1.5 反函数 7

1.1.6 基本初等函数 7

1.1.7 复合函数 8

习题1-1 8

1.2 函数的极限及运算法则 9

1.2.1 函数极限 9

1.2.2 极限的运算法则 11

1.2.3 极限的性质 11

习题1-2 13

1.3 两个重要极限 13

习题1-3 14

1.4 函数的连续性 15

1.4.1 函数连续的定义 15

1.4.2 连续函数的性质 18

习题1-4 19

1.5 闭区间上连续函数的性质 19

习题1-5 21

复习题一 22

2 导数与微分 24

2.1 导数的概念 24

2.1.1 引例 24

2.1.2 导数概念 25

习题2-1 29

2.2 函数的求导法则 29

2.2.1 导数的四则运算法则 29

2.2.2 反函数的求导法则 31

2.2.3 复合函数的求导法则 32

习题2-2 33

2.3 高阶导数 34

习题2-3 36

2.4 隐函数的导数 参数方程所确定的函数的导数 36

2.4.1 隐函数的导数 36

2.4.2 幂指函数的求导与对数求导法 38

2.4.3 参数方程所确定的函数的导数 39

习题2-4 40

2.5 微分及其运算 40

2.5.1 微分的定义 40

2.5.2 微分的几何意义 42

2.5.3 微分的基本公式和运算法则 43

习题2-5 44

复习题二 44

3 导数的应用 46

3.1 微分中值定理 46

3.1.1 罗尔中值定理 46

3.1.2 拉格朗日中值定理 47

3.1.3 柯西中值定理 48

习题3-1 49

3.2 洛必达法则 49

3.2.1 0/0型未定式 49

3.2.2 其他类型的未定式 50

3.2.3 应用洛必达法则时应注意的几个问题 51

习题3-2 52

3.3 函数的单调性 52

习题3-3 55

3.4 函数的极值和最值问题 55

3.4.1 函数极值的定义 55

3.4.2 极值判定法 56

3.4.3 最大值、最小值问题 58

习题3-4 61

3.5 曲线的凹凸性与拐点 62

3.5.1 曲线的凹凸及其判别法 62

3.5.2 曲线的拐点 63

习题3-5 65

3.6 函数图形的描绘 65

3.6.1 曲线的渐近线 65

3.6.2 作函数图形的一般步骤 65

3.6.3 函数图形举例 66

习题3-6 67

复习题三 68

4 不定积分 69

4.1 不定积分的概念与性质 69

4.1.1 原函数与不定积分的概念 69

4.1.2 不定积分的性质 71

4.1.3 不定积分的几何意义 71

4.1.4 基本积分表 72

习题4-1 74

4.2 换元积分法 75

4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 75

4.2.2 第二类换元法 78

习题4-2 81

4.3 分部积分法 82

习题4-3 84

复习题四 85

5 定积分及其应用 86

5.1 定积分的概念与性质 86

5.1.1 引例 86

5.1.2 定积分定义 87

5.1.3 定积分的几何意义 90

习题5-1 91

5.2 微积分基本公式 92

5.2.1 积分上限函数及其导数 92

5.2.2 微积分基本公式 93

习题5-2 95

5.3 换元积分法 95

5.3.1 引例 95

5.3.2 定积分的换元法 97

习题5-3 99

5.4 分部积分法 100

习题5-4 101

5.5 定积分在几何方面的应用 101

5.5.1 定积分的微元法 101

5.5.2 平面图形的面积 102

5.5.3 旋转体的体积 105

习题5-5 107

复习题五 107

6 常微分方程 109

6.1 微分方程的基本概念 109

6.1.1 微分方程的基本概念 109

6.1.2 简单微分方程的建立 110

习题6-1 111

6.2 可分离变量的微分方程 112

6.2.1 最简单的一阶微分方程的解法 112

6.2.2 可分离变量的微分方程 112

习题6-2 114

6.3 一阶微分方程 114

6.3.1 齐次微分方程的定义 114

6.3.2 一阶线性微分方程的定义 115

6.3.3 一阶线性微分方程的解法 116

习题6-3 118

6.4 二阶线性微分方程 119

6.4.1 通解形式 119

6.4.2 二阶线性常系数齐次微分方程的解法 120

6.4.3 二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 122

习题6-4 124

6.5 可降阶的二阶微分方程 125

6.5.1 y＂＝f（x）型的微分方程 125

6.5.2 y＂=f（x，y＇）型的微分方程 125

6.5.3 y＂＝f（y，y＇）型的微分方程 126

习题6-5 126

复习题六 127

7 无穷级数 128

7.1 常数项级数 128

7.1.1 无穷级数的基本概念 128

7.1.2 无穷级数的基本性质 129

7.1.3 级数收敛的必要条件 130

习题7-1 131

7.2 正项级数及其审敛法 131

7.2.1 比较审敛法 132

7.2.2 比值审敛法 133

习题7-2 134

7.3 任意项级数 134

7.3.1 交错级数 135

7.3.2 绝对收敛与条件收敛 135

习题7-3 136

7.4 幂级数 136

7.4.1 幂级数的收敛性 137

7.4.2 幂级数的性质 139

习题7-4 140

7.5 函数的幂级数展开 140

7.5.1 麦克劳林级数 141

7.5.2 将函数展开成幂级数的两种方法 141

习题7-5 143

复习题七 144

8 向量代数与空间解析几何 146

8.1 空间直角坐标系 146

8.1.1 空间直角坐标系 146

8.1.2 空间两点间的距离 147

习题8-1 148

8.2 空间向量 148

8.2.1 向量及其几何表示 148

8.2.2 向量的线性运算 149

8.2.3 向量的坐标表示 150

习题8-2 152

8.3 空间平面及其方程 152

8.3.1 空间平面的点法式方程 152

8.3.2 空间平面的一般方程 153

8.3.3 两平面的夹角 154

习题8-3 155

8.4 空间直线及其方程 155

8.4.1 空间直线的点向式方程与参数方程 155

8.4.2 空间直线的一般方程 156

8.4.3 空间两直线的夹角 157

习题8-4 157

8.5 空间曲面与空间曲线方程 158

8.5.1 曲面方程的概念 158

8.5.2 球面的方程 158

8.5.3 柱面的方程 159

8.5.4 旋转曲面的方程 160

8.5.5 空间曲线 161

习题8-5 162

复习题八 162

9 多元函数微分学 163

9.1 多元函数的基本概念 163

9.1.1 平面区域 163

9.1.2 多元函数概念 164

9.1.3 二元函数的极限与连续性 165

习题9-1 166

9.2 偏导数 167

9.2.1 偏导数的概念 167

9.2.2 高阶偏导数 169

习题9-2 170

9.3 全微分及其应用 170

习题9-3 172

9.4 复合函数与隐函数的微分法 173

9.4.1 复合函数的微分法 173

9.4.2 隐函数的微分法 174

习题9-4 175

9.5 多元函数的极值 176

9.5.1 二元函数的极值 176

9.5.2 二元函数的最大值与最小值 178

9.5.3 条件极值与拉格朗日乘数法 179

习题9-5 180

复习题九 181

10 多元函数的积分 183

10.1 二重积分的概念 183

10.1.1 引例——求曲顶柱体的体积 183

10.1.2 二重积分的概念 184

10.1.3 二重积分的性质 186

习题10-1 187

10.2 二重积分的计算 187

10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 187

10.2.2 极坐标系下二重积分的计算 192

习题10-2 194

复习题十 195

习题答案 197

参考文献 226