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第1章 函数 1

1.1 集合与映射 1

1.1.1 集合的基本概念及其运算 1

1.1.2 区间和邻域 3

1.1.3 映射 4

习题1.1 6

1.2 函数及其基本性质 6

1.2.1 函数的概念 7

1.2.2 复合函数与反函数的概念 10

1.2.3 函数的几种特性 11

1.2.4 初等函数 14

习题1.2 16

第2章 极限与连续 19

2.1 极限的定义 19

2.1.1 函数的极限 19

2.1.2 无穷小与无穷大 24

2.1.3 数列的极限 25

习题2.1 27

2.2 极限的性质及运算法则 28

2.2.1 极限的性质 28

2.2.2 极限的四则运算法则 30

2.2.3 复合函数的极限运算法则 32

习题2.2 33

2.3 极限存在准则 两个重要极限 34

2.3.1 极限存在准则 34

2.3.2 两个重要极限 35

2.3.3 应用举例 37

习题2.3 39

2.4 无穷小的比较 39

习题2.4 41

2.5 函数的连续性 42

2.5.1 函数的增量 42

2.5.2 函数的连续性与间断点 43

2.5.3 连续函数的运算 46

2.5.4 初等函数的连续性 47

习题2.5 49

2.6 闭区间上连续函数的性质 50

习题2.6 52

2.7 极限计算方法举例 52

2.7.1 直接代入法 52

2.7.2 消去公因子法 53

2.7.3 变量替换法 54

2.7.4 利用重要极限方法 54

2.7.5 等价无穷小替换方法 55

2.7.6 其他方法举例 55

2.7.7 曲线的渐近线 57

习题2.7 58

第3章 导数与微分 59

3.1 导数的概念 59

习题3.1 64

3.2 导数的运算法则 64

3.2.1 导数的四则运算法则 64

3.2.2 复合函数求导法则 66

3.2.3 反函数的求导法则 67

3.2.4 基本初等函数的导数公式 68

习题3.2 70

3.3 高阶导数 72

习题3.3 75

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法 76

3.4.1 隐函数的求导方法 76

3.4.2 由参数方程所确定的函数的求导方法 77

3.4.3 取对数求导方法 79

习题3.4 80

3.5 微分及其应用 81

3.5.1 微分的定义及基本运算法则 81

3.5.2 微分在近似计算中的应用 85

习题3.5 87

第4章 微分中值定理与导数的应用 89

4.1 微分中值定理 89

4.1.1 Fermat定理 89

4.1.2 Rolle定理 90

4.1.3 Lagrange中值定理 91

4.1.4 Cauchy中值定理 93

习题4.1 94

4.2 L'Hospital法则 95

4.2.1 0/0型与∞／∞型未定式 96

4.2.2 其他类型未定式 99

习题4.2 101

4.3 函数图形的某些几何性态的研究 101

4.3.1 函数的单调性与极值 101

4.3.2 曲线的凹凸性与拐点 104

4.3.3 函数的极值与最大值、最小值 106

4.3.4 函数图形的描绘 110

习题4.3 111

4.4 Taylor公式 113

习题4.4 119

4.5 方程的近似解 120

习题4.5 122

第5章 一元函数的积分学 123

5.1 定积分的概念及基本性质 123

5.1.1 定积分的定义 123

5.1.2 定积分的基本性质 127

习题5.1 130

5.2 Newton-Leibniz公式 131

习题5.2 135

5.3 不定积分 136

5.3.1 不定积分的概念与基本性质 136

5.3.2 不定积分的换元积分法 139

5.3.3 不定积分的分部积分法 145

习题5.3 149

5.4 有理函数及某些可化为有理函数的不定积分 151

5.4.1 有理函数的积分 151

5.4.2 三角函数有理式的积分 155

5.4.3 根式函数有理式的积分 156

5.4.4 积分表的使用方法 157

习题5.4 158

5.5 定积分的计算 159

5.5.1 定积分的换元积分法 159

5.5.2 定积分的分部积分法 161

5.5.3 定积分的计算举例 162

习题5.5 166

5.6 广义积分 168

5.6.1 无限区间上的广义积分 168

5.6.2 无界函数的广义积分 171

5.6.3 Г函数＊ 174

习题5.6 175

第6章 定积分的应用 177

6.1 定积分的元素法简介 177

6.2 定积分在几何学中的应用 178

6.2.1 平面图形的面积 178

6.2.2 某些立体的体积 183

6.2.3 曲线的弧长 185

习题6.2 189

6.3 定积分在物理学、化学、生物学等方面的应用 190

6.3.1 变力沿直线所做的功 190

6.3.2 液体的压力 192

6.3.3 黏液定常流动时管流量的测定 194

6.3.4 平均值 195

习题6.3 196

第7章 向量代数与空间解析几何简介 199

7.1 向量及其线性运算 199

7.1.1 空间直角坐标系 199

7.1.2 向量的坐标表示 200

7.1.3 向量的模与方向余弦 203

习题7.1 204

7.2 向量的数量积与向量积 204

7.2.1 向量的数量积 204

7.2.2 向量的向量积 206

习题7.2 210

7.3 平面与空间直线 210

7.3.1 平面方程 211

7.3.2 空间直线方程 213

习题7.3 216

7.4 曲面和空间曲线 217

7.4.1 曲面 217

7.4.2 空间曲线 219

7.4.3 柱面 220

7.4.4 旋转曲面与常见的二次曲面 224

习题7.4 229

习题参考答案与提示 231

附录 积分表 251

参考书目 259