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目录 1

第一章　方程的导出和分类 1

§1.1　方程的导出和定解条件 1

1．波动方程 1

2．热传导方程 5

3．拉普拉斯方程和波阿松（Poisson）方程 7

4．定解条件 8

5．定解问题的适定性 12

§1.2 二阶线性偏微分方程的分类 13

1．两个自变量函数的二阶线性方程 14

2．多个自变量函数的二阶线性方程 20

习题一 22

第二章　柯西问题（初值问题） 25

§2.1　一维齐次波动方程的初值问题 26

1．达朗贝尔公式 26

2．解的物理意义 28

3．依赖区域、影响区域和决定区域 30

1．球对称三维波动方程的解 31

§2.2　多维齐次波动方程的初值问题 31

2．三维波动方程的泊松公式 32

3．二维波动方程柯西问题的泊松公式 36

§2.3　非齐次波动方程的初值问题 38

1．一维非齐次波动方程的初值问题 38

2．三维非齐次波动方程的初值问题 40

习题二 42

1．物理模型 44

第三章　分离变量法 44

§3.1　有界弦的自由振动 44

2．分离变量法 46

§3.2　用分离变量法解其它定解问题 53

§3.3　非齐次泛定方程的混合问题 61

1．齐次化原理 62

2．固有函数法（试探法） 64

§3.4　非齐次边界条件的处理 68

习题三 77

第四章　固有值问题 81

§4.1　斯图姆-刘维尔问题 81

1．斯图姆-刘维尔问题的来源 81

2．斯图姆-刘维尔问题的基本定理 86

§4.2　贝塞尔函数 90

1．贝塞尔方程及其通解 90

2．贝塞尔函数的零点，递推公式 94

3．函数的富里埃-贝塞尔级数 97

§4.3　贝塞尔函数应用举例 102

§4.4　勒让德函数 106

1．勒让德多项式、递推公式 106

2．勒让德多项式的正交性与富里埃-勒让德级数 112

§4.5　勒让德函数的应用举例 119

习题四 121

第五章　边值问题 125

§5.1　边值问题的提法 125

3．第三边值问题 126

2．第二边值问题 126

1．第一边值问题 126

4．第四边值问题 127

5．狄利克莱外问题 128

6．牛曼外问题 128

§5.2　边值问题的解法 129

1．圆域的狄利克莱问题、泊松积分公式 129

2．圆环域的狄利克莱问题 133

3．圆域的牛曼问题 134

4．矩形域的狄利克莱问题 135

5．泊松方程的狄利克莱问题 137

6．矩形域的牛曼问题、格仁贝尔方法 139

7．立方体的狄利克莱问题 142

8．圆柱体的狄利克莱问题 144

9．球体的狄利克莱问题 148

§5.3　视察法解边值问题 151

习题五 155

1．格林公式 158

§6.1　格林公式及其应用 158

第六章　格林函数法 158

2．格林公式的应用 160

§6.2 δ函数、基本解 163

1．多维δ函数及其性质 163

2．基本解 164

§6.3　格林函数及其性质 167

§6.4　静电源像法 172

1．圆域的格林函数及狄利克莱问题的解 173

2．上半平面的格林函数及狄利克莱问题的解 175

3．四分之一平面的格林函数及狄利克莱问题的解 176

4．半圆域的格林函数及狄利克莱问题的解 177

5．半空间区域的格林函数及狄利克莱问题的解 179

6．球域的格林函数及狄利克莱问题的解 181

§6.5　热传导方程与波动方程的格林函数法 183

1．热传导方程的格林函数法 183

2．弦振动方程的格林函数法 185

习题六 188

1．富里埃积分 190

第七章　积分变换法 190

§7.1　富里埃积分和富里埃变换 190

2．富里埃变换及其逆变换 192

§7.2 富里埃变换的基本性质 199

1．富里埃变换的运算性质 199

2．卷积和它的性质 201

§7.3　用富里埃变换法解微分方程 206

1．用富里埃变换法解常微分方程 206

2．解偏微分方程 206

§7.4　拉普拉斯变换 214

1．拉普拉斯变换的概念 215

2．拉普拉斯变换的存在定理 215

3．拉普拉斯变换计算举例 216

§7.5　拉普拉斯变换的性质及反演积分 218

1．拉普拉斯变换的性质 218

2．常用函数的拉普拉斯变换 223

3．拉普拉斯逆变换的求法 225

1．解线性常微分方程 231

§7.6　用拉普拉斯变换法求解微分方程 231

2．解线性偏微分方程 235

习题七 245

第八章　定解问题的近似解法 249

§8.1　差分法 249

1．基本概念 249

2．拉普拉斯方程边值问题的差分解法 254

3．波动方程第一类边界条件混合问题的差分解法 261

4．热传导方程的差分格式 264

§8.2　变分方法 266

1．变分问题 267

2．基本引理、极值的必要条件 269

3．变分原理（狄利克莱定理） 273

4．里兹法 274

5．伽辽金法 280

§8.3　有限元法 284

1．区域网格的剖分 284

2．列出计算格式 285

习题八 289

第九章 定解问题的适定性 291

§9.1　波动方程 292

1．混合问题 292

2．初值问题 298

§9.2　热传导方程 300

1．混合问题 300

2．初值问题 304

§9.3　拉普拉斯方程 309

习题九 319

附录Ⅰ Γ函数的基本知识 322

附录Ⅱ 富氏变换与拉氏变换简表 327

附录Ⅲ 分离变量法表解 332

附录Ⅳ　格林函数法表解 336

附录Ⅴ 一些预备知识 338

习题参考答案 343

参考书目 353