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第七章 微分方程 1

第一节 基本概念 1

一、引例 1

二、基本概念 3

习题7-1 4

第二节 可分离变量方程与齐次方程 5

一、可分离变量方程 5

二、齐次方程 8

三、可化为齐次方程的方程 11

习题7-2 14

第三节 一阶线性方程与Bernoulli方程 16

一、一阶线性方程 16

二、Bernoulli方程 19

习题7-3 21

第四节 可降阶的高阶方程 22

一、y″=f(x)型 22

二、y″=f(x、y′)型 24

三、y″=f(y、y′)型 26

习题7-4 26

第五节 高阶线性微分方程 27

一、定义 27

二、线性微分方程解的结构 28

习题7-5 31

第六节 二阶常系数齐次线性方程 32

一、形式 32

二、解法 32

三、n阶常系数齐次线性方程 36

习题7-6 37

第七节 二阶常系数非齐次线性方程 38

一、Q(x)=Pn(x)eax型 39

二、Q(x)=Pn(x)eaxcosβx或Q(x)=Pn(x)eaxsinβx型 42

三、常数变易法 46

习题7-7 49

一、欧拉方程 50

第八节 欧拉方程及常系数线性微分方程组 50

二、常系数线性微分方程组解法举例 52

习题7-8 54

第八章 多元函数微分学 55

第一节 多元函数的极限与连续性 55

一、二元函数的定义 55

二、平面点集 57

三、二元函数的极限与连续性 58

习题8-1 62

第二节 偏导数与全微分 63

一、偏导数 63

二、全微分 68

习题8-2 74

第三节 多元复合函数与隐函数的求导法 76

一、多元复合函数的求导 76

二、隐函数的求导 82

习题8-3 85

一、方向导数 88

第四节 方向导数与梯度 88

二、梯度 91

习题8-4 94

第五节 多元微分法在几何上的应用 95

一、空间曲线的切线与法平面 95

二、曲面的切平面与法线 98

习题8-5 102

第六节 多元函数的极值与最值 103

一、多元函数的极值 103

二、多元函数的最值 105

三、条件极值 107

习题8-6 111

第七节 二元函数的Taylor公式 112

一、二元函数的Taylor公式 112

二、极值充分条件的证明 115

习题8-7 117

一、简单闭区域 118

第九章 重积分 118

第一节 二重积分的概念 118

二、二重积分的概念及性质 124

习题9-1 127

第二节 二重积分的计算 128

一、利用直角坐标计算二重积分 129

二、利用极坐标计算二重积分 132

三、二重积分的换元法 136

习题9-2 139

第三节 三重积分的概念与计算 144

一、空间内的简单闭区域 144

二、三重积分的概念 146

三、利用直角坐标计算三重积分 146

四、利用柱面坐标计算三重积分 150

五、利用球面坐标计算三重积分 151

习题9-3 154

一、曲面的面积 156

第四节 重积分的应用 156

二、物体的重心 159

三、转动惯量 162

四、对质点的引力 164

习题9-4 166

第十章 曲线积分与曲面积分 168

第一节 对弧长的曲线积分 168

一、对弧长的曲线积分的概念 168

二、对弧长的曲线积分的计算 171

习题10-1 174

第二节 对坐标的曲线积分 176

一、对坐标的曲线积分的概念 176

二、对坐标的曲线积分的计算 178

习题10-2 181

第三节 Green公式 183

一、Green公式 183

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 187

三、全微分方程 191

习题10-3 194

第四节 对面积的曲面积分 198

一、对面积的曲面积分的概念 198

二、对面积的曲面积分的计算法 200

习题10-4 203

第五节 对坐标的曲面积分 204

一、对坐标的曲面积分的概念 204

二、对坐标的曲面积分的计算 206

习题10-5 210

第六节 Gauss公式与Stokes公式 211

一、Gauss公式 211

二、Stokes公式 214

三、场论初步 219

习题10-6 224

第十一章 级数 228

一、概念与性质 229

第一节 常数项级数 229

二、正项级数的审敛法 236

三、任意项级数 243

习题11-1 247

第二节 幂级数 250

一、幂级数的基本概念 251

二、幂级数的运算 256

第三节 将函数展成幂级数 258

习题11-2 258

一、Taylor级数 259

二、常用初等函数的展开式 261

习题11-3 267

第四节 Fourier级数 268

一、三角函数正交系 268

二、Fourier级数 269

三、非周期函数的Fourier级数 274

习题11-4 282

部分习题答案 284