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第一篇 函数与极限 1

第一章 函数 1

§1 变量 1

1．1 实数和实数的连续性 1

1．2 常量与变量 2

1．3 变量的变域 2

§2 函数 4

2．1 函数 4

2．3 函数的例子 5

2．2 函数的图形 5

§3 函数的几种特性 9

3．1 函数的奇偶性 9

3．2 函数的单调性 10

3．3 函数的有界性 11

3．4 函数的周期性 12

§4 函数的运算和映射 14

4．1 函数的运算 14

4．2 映射 16

§5 初等函数 20

5．1 基本初等函数 20

5．2 初等函数 24

5．3 双曲函数 25

第二章 数列极限与函数极限 28

§1 数列极限 28

1．1 数列 28

1．2 数列极限 28

1．3 无穷大量 35

§2 收敛数列的性质和运算 38

2．1 收敛数列的性质 38

2．2 数列极限的四则运算 41

§3 数列收敛的判别法 45

3．1 夹挤定理 46

3．2 单调有界原理 48

3．3 夹挤数列的构造与上、下极限 51

3．4 Cauchy收敛准则 54

§4 函数极限 58

4．1 自变量的变化过程和函数的变化趋势 59

4．2 函数极限 59

4．3 函数极限的例子 63

§5 函数极限的性质和运算 66

5．1 函数极限的性质 66

5．2 函数极限的四则运算 68

6．1 夹挤定理 71

§6 函数极限存在的判别法 71

6．2 单调有界原理 73

6．3 Cauchy准则 74

§7 无穷小的阶和无穷大的阶的比较 77

7．1 无穷小量阶的比较 77

7．2 无穷大量阶的比较 78

7．3 无穷小的替换 79

1．1 间断的概念 84

第三章 连续函数 84

§1 间断和连续 84

1．2 间断产生的原因及其分类 86

1．3 连续的概念 87

§2 连续函数的运算和初等函数的连续性 92

2．1 连续函数的运算 92

2．2 初等函数的连续性 93

§3 闭区间上连续函数的基本性质 96

§1 导数 102

1．1 导数的定义 102

第二篇 微分学 102

第四章 导数与微分 102

1．2 导数的几何意义 105

1．3 导数的物理意义 107

1．4 可导(微)函数 109

§2 求导法则 112

2．1 导数的四则运算 112

2．2 反函数的导数 115

2．3 复合函数的导数 117

2．4 初等函数的求导公式 119

3．1 微分的概念 122

§3 微分 122

3．2 微分的运算 124

3．3 微分在近似计算中的应用 125

§4 累次微分法 129

4．1 高阶导数 129

4．2 Leibniz公式 130

4．3 高阶微分 132

§5 隐函数及参数方程的微分法 134

5．1 隐函数的微分法 134

5．2 参数方程表示的函数的微分法 135

1．1 极值点的概念 139

第五章 中值定理与Taylor公式 139

§1 Lagrange中值定理 139

1．2 光滑曲线的一个几何性质 140

1．3 Lagrange中值定理 141

1．4 中值定理的物理意义 143

1．5 中值定理的推论 144

1．6 函数单调性的判别 145

§2 Cauchy中值定理、L Hospital法则 151

2．1 Cauchy中值定理 151

2．2 L Hospital法则 153

3．1 函数在可微点附近的近似多项式 159

§3 Taylor公式 159

3．2 多项式函数的Taylor公式 160

3．3 Taylor公式 161

3．4 Maclaurin公式 164

3．5 Taylor公式应用举例 166

第六章 微分学的应用 172

§1 最大最小值问题 172

1．1 函数的极值和求法 172

1．2 最大值和最小值的求法 177

1．3 极值应用举例 179

2．1 曲线的交角 184

§2 微分学在几何上的应用 184

2．2 曲线的凹凸与拐点 186

2．3 曲线的渐近线 189

2．4 曲线的曲率与曲率圆 191

2．5 函数作图 197

第三篇 积分学 203

第七章 不定积分 203

§1 不定积分 203

1．1 不定积分的概念 203

1．2 不定积分的基本公式 205

1．3 不定积分的线性性质 206

§2 换元积分法和分部积分法 208

2．1 换元积分法 208

2．2 分部积分法 213

§3 有理函数的积分 217

3．1 最简分式的积分 218

3．2 有理函数的最简分式分解 219

3．3 三角函数的有理式的积分 222

3．4 某些无理函数的积分 225

1．1 曲边梯形的面积 234

第八章 定积分 234

§1 求和问题 234

1．2 变力做功 235

1．3 直线上变速运动的路程 236

§2 定积分的概念 236

2．1 定积分的定义 236

2．2 可积性条件 237

2．3 定积分的几何意义 238

3．1 定积分的基本性质 239

§3 基本性质和中值定理 239

3．2 定积分的估值法 242

3．3 积分中值定理 244

§4 微积分学基本定理 248

4．1 原函数存在定理 249

4．2 微积分学的基本定理 250

§5 分部积分法和换元积分法 254

5．1 换元积分法 254

5．2 分部积分法 257

1．2 关于微元法的命题 262

1．1 区间函数的可加性 262

§1 微元法 262

第九章 定积分应用 262

1．3 用微元法解题的步骤 264

§2 面积问题 267

2．1 曲边梯形的面积 267

2．2 由参数方程给出的封闭曲线所围图形的面积 269

2．3 极坐标下平面图形的面积 271

2．4 旋转曲面的面积 272

§3 体积问题 275

3．1 旋转体的体积 275

3．2 平行截面面积为已知的立体的体积 276

§4 曲线的弧长 279

4．1 直角坐标系中曲线的弧长 279

4．2 参数方程给出的曲线的弧长 280

4．3 极坐标系中曲线的弧长 280

§5 定积分在物理上的应用 282

5．1 平面图形的质心 282

5．2 功的计算 285

5．3 流体压力和引力 287

5．4 平均值 289

答案与提示 292