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第八章　空间解析几何与向量代数 1

8.1　空间直角坐标系 1

一、空间点的直角坐标 1

二、点的坐标 2

三、空间两点的距离 3

习题8.1 5

8.2　曲面及其方程 5

一、曲面方程的概念 5

二、空间中的平面及其方程 6

三、球面 8

四、柱面 8

五、旋转曲面 9

六、二次曲面 12

习题8.2 14

8.3　空间曲线及其方程 17

一、空间曲线的一般方程 17

二、空间曲线的参数方程 18

三、空间曲线在坐标面上的投影 19

习题8.3 20

8.4　向量及其线性运算 22

一、向量的概念 22

二、向量的加减法 23

三、向量与数的乘法 24

习题8.4 26

8.5　向量的坐标 27

一、向量的分解与向量的坐标 27

二、向量线性运算的坐标表示法 28

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 29

四、向量在坐标轴上的投影与向量的坐标 31

习题8.5 32

8.6　向量的数量积 向量积　混合积 33

一、两向量的数量积 33

二、两向量的向量积 37

三、向量的混合积 40

习题8.6 42

8.7　平面及其方程 44

一、平面的点法式方程 44

二、平面的一般式方程 46

三、两平面的夹角 47

四、点到平面的距离 48

习题8.7 49

8.8　空间直线及其方程 50

一、空间直线的点向式方程与参数式方程 50

二、空间直线的一般式方程 51

三、两直线的夹角 53

四、直线与平面的夹角 54

习题8.8 55

8.9　平面与直线方程的应用 57

一、直线与平面的交点 57

二、点在平面或直线上的投影 58

三、直线在平面上的投影 58

四、异面直线及其距离 59

五、一般柱面 61

习题8.9 61

测试题八 62

第九章 多元函数的微分学及其应用 65

9.1　多元函数 65

一、区域 65

二、多元函数的概念 69

三、多元函数的极限 72

四、多元函数的连续性 74

习题9.1 76

9.2　偏导数 77

一、偏导数 77

二、高阶偏导数 81

习题9.2 84

9.3　全微分 85

习题9.3 89

9.4　复合函数与隐函数的求导法 90

一、多元复合函数的求导法 90

二、隐函数的求导法 98

习题9.4 102

9.5　多元微分学在几何上的应用 104

一、空间曲线的切线与法平面 104

二、曲面的切平面与法线 106

习题9.5 109

9.6　多元函数的极值及其应用 110

一、多元函数的极值概念及求法 110

二、最大值与最小值应用问题 113

三、条件极值　拉格朗日乘数法 115

习题9.6 119

9.7　二元函数的泰勒公式 119

习题9.7 123

9.8　场　方向导数与梯度 123

一、场 123

二、方向导数 124

三、梯度 127

习题9.8 131

测试题九 132

第十章　重积分 135

10.1　二重积分的概念和性质 135

一、二重积分的概念 135

二、二重积分的性质 138

习题10.1 139

10.2　二重积分的计算 140

一、利用直角坐标计算二重积分 141

习题10.2（1） 151

二、利用极坐标计算二重积分 153

三、二重积分的一般变量替换 158

习题10.2（2） 161

10.3　三重积分的概念及其计算 163

一、三重积分的概念与性质 163

二、三重积分的计算 164

习题10.3（1） 170

习题10.3（2） 178

10.4　重积分的应用 180

一、曲面的面积 181

二、重心 183

三、转动惯量 186

四、引力 187

习题10.4 189

测试题十 191

第十一章 曲线积分和曲面积分 193

11.1　对弧长的曲线积分 193

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 193

二、对弧长的曲线积分的计算法 196

习题11.1 199

11.2　对坐标的曲线积分 200

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 200

二、对坐标的曲线积分的计算法 204

三、两类曲线积分之间的关系 209

习题11.2 210

11.3　格林公式及应用 211

一、格林公式 211

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 216

三、二元函数的全微分求积 219

习题11.3 221

11.4　对面积的曲面积分 223

一、对面积的曲面积分的概念与性质 223

二、对面积的曲面积分的计算法 225

习题11.4 228

11.5　对坐标的曲面积分 229

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 231

二、对坐标的曲面积分的计算法 235

三、两类曲面积分之间的关系 238

习题11.5 240

11.6　高斯公式　通量与散度 242

一、高斯公式 242

二、通量与散度 246

习题11.6 249

11.7　斯托克斯公式　环流量与旋度 250

一、斯托克斯公式 250

二、环流量与旋度 255

三、旋度运算的基本公式 258

习题11.7 258

测试题十一 260

第十二章　无穷级数 263

12.1　常数项级数的概念与性质 263

一、常数项级数的概念 263

二、级数收敛的必要条件 266

三、收敛级数的基本性质 267

习题12.1 269

12.2　数项级数的审敛法 270

一、正项级数及其审敛法 271

习题12.2（1） 278

二、交错级数及其审敛法 279

三、绝对收敛与条件收敛 282

习题12.2（2） 285

12.3　幂级数 286

一、函数项级数的概念 286

二、幂级数及其收敛性 287

三、幂级数的运算及其性质 291

习题12.3 294

12.4　函数展开成幂级数 296

一、任意阶可导的函数的泰勒级数 296

二、函数展开成幂级数的条件 298

三、初等函数间接展开成幂级数 302

四、欧拉公式 305

习题12.4 307

12.5　傅里叶级数 308

一、三角级数及其基本性质 308

二、周期为2π的周期函数的傅里叶级数 310

三、只定义在区间［-π,π］上的函数展开成傅里叶级数 313

四、只定义在［0,π］上的函数展开成正弦（或余弦）级数 315

习题12.5 318

12.6　一般周期函数的傅里叶级数 320

习题12.6 325

测试题十二 326

第十三章 数值计算与MATLAB实现 328

13.1 MATLAB简介 328

一、MATLAB的启动和运行 329

二、MATLAB的变量与函数 331

三、MATLAB的数组及其运算 334

四、MATLAB的符号运算 335

五、MATLAB的绘图功能 336

六、MATLAB程序设计 338

七、MATLAB的帮助系统 341

习题13.1 341

13.2　方程求根 342

一、二分法 343

二、迭代法 343

三、方程（组）的数值解 344

习题13.2 345

13.3　数值积分 346

一、梯形法 346

二、抛物线法 347

三、定积分的MATLAB求解 348

习题13.3 350

13.4　常微分方程数值解法 350

一、欧拉（Eular）法 350

二、改进的欧拉法 351

三、龙格—库塔（Runge—Kutta）法 352

四、常微分方程的MATLAB求解 352

习题13.4 354

习题与测试题参考答案 355

参考书目 381