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第7章　向量代数与空间解析几何 1

7.1　向量及其运算 1

7.1.1　向量的概念 1

7.1.2　向量的运算 2

习题7-1（A） 7

习题7-1（B） 7

7.2　空间坐标系中的向量 8

7.2.1　空间直角坐标系 8

7.2.2　向量的坐标与坐标分解式 9

7.2.3　向量运算的坐标表示 11

习题7-2（A） 17

习题7-2（B） 18

7.3　平面及其方程 18

7.3.1　平面的方程 18

7.3.2　两平面的夹角 22

习题7-3（A） 24

习题7-3（B） 24

7.4　空间中的直线及其方程 25

7.4.1　空间直线的一般式方程 25

7.4.2　空间直线的点向式方程和参数方程 26

7.4.3　两直线的夹角 28

7.4.4　直线与平面的夹角 29

7.4.5　平面束方程 30

习题7-4（A） 31

习题7-4（B） 32

7.5　曲面及其方程 33

7.5.1　曲面与方程 33

7.5.2　两类特殊的曲面 34

7.5.3　其他常见的二次曲面 38

习题7-5（A） 43

习题7-5（B） 44

7.6　空间中的曲线及其方程 44

7.6.1　空间曲线的一般方程 45

7.6.2　空间曲线的参数方程 46

7.6.3　空间曲线在坐标面上的投影 47

习题7-6（A） 49

习题7-6（B） 50

7.7　利用软件进行向量运算和画图 50

7.7.1　向量的运算 50

习题7-7 51

7.7.2　曲面的绘制 51

总习题7 52

第8章 多元函数微分学 55

8.1　多元函数的概念 55

8.1.1 平面点集 55

8.1.2　二元函数 58

习题8-1（A） 59

习题8-1（B） 60

8.2　多元函数的极限与连续 60

8.2.1 多元函数的极限 60

8.2.2　多元函数的连续性 62

习题8-2（A） 64

习题8-2（B） 64

8.3　偏导数 65

8.3.1　一阶偏导数 65

8.3.2 高阶偏导数 69

习题8-3（A） 71

习题8-3（B） 72

8.4　全微分 72

8.4.1　二元函数的全微分 73

习题8-4（A） 79

习题8-4（B） 79

8.5　多元复合函数的求导法则 80

8.5.1　复合函数的微分法 80

8.5.2　一阶全微分形式的不变性 85

习题8-5（A） 86

习题8-5（B） 87

8.6　隐函数的存在定理及微分法 87

8.6.1　一个方程时的情况 87

8.6.2　方程组时的情形 90

习题8-6（A） 91

习题8-6（B） 92

8.7　多元函数微分学在几何中的应用 92

8.7.1 空间曲线的切线与法平面 93

8.7.2　曲面的切平面与法线 96

习题8-7（A） 99

习题8-7（B） 99

8.8　方向导数与梯度 99

8.8.1　方向导数 100

8.8.2　梯度 102

习题8-8（A） 104

习题8-8（B） 105

8.9　多元函数的极值 105

8.9.1　多元函数的极值 105

8.9.2　多元函数的最值 108

8.9.3　条件极值与拉格朗日乘数法 110

8.9.4　数学建模的实例 114

习题8-9（A） 117

习题8-9（B） 117

8.10　利用软件计算偏导数 117

习题8-10 118

总习题8 118

第9章　重积分 121

9.1　二重积分的概念与性质 121

9.1.1　两个实际问题 121

9.1.2　二重积分的定义 123

9.1.3　二重积分的性质 124

9.1.4　二重积分的几何意义 125

习题9-1（A） 125

习题9-1（B） 126

9.2　二重积分的计算 127

9.2.1　直角坐标系下二重积分的计算 127

9.2.2　极坐标系下二重积分的计算 133

习题9-2（A） 138

习题9-2（B） 140

9.3　三重积分 141

9.3.1　三重积分的概念与性质 141

9.3.2　在直角坐标系下计算三重积分 142

9.3.3　利用柱面坐标计算三重积分 145

9.3.4　利用球面坐标计算三重积分 148

习题9-3（A） 151

习题9-3（B） 153

9.4　重积分应用举例 153

9.4.1　在几何上的应用 153

9.4.2　在物理上的应用 157

习题9-4（A） 162

习题9-4（B） 164

9.5　利用软件计算多元函数的积分 164

总习题9 165

第10章 曲线积分与曲面积分 168

10.1　第一型曲线积分 168

10.1.1　第一型曲线积分的定义 168

10.1.2　第一型曲线积分的性质 170

10.1.3　第一型曲线积分的计算 170

习题10-1（A） 174

习题10-1（B） 174

10.2　第二型曲线积分 175

10.2.1　一个实际问题 175

10.2.2　第二型曲线积分的定义与性质 176

10.2.3　第二型曲线积分的计算 178

10.2.4　两类曲线积分之间的联系 183

习题10-2（A） 184

习题10-2（B） 185

10.3　格林公式 曲线积分与路径无关的条件 185

10.3.1　单连通区域与多连通区域 186

10.3.2　格林公式 187

10.3.3 平面上第二型曲线积分与路径无关的条件 191

10.3.4　二元函数的全微分求积 193

10.3.5　全微分方程 197

习题10-3（A） 199

习题10-3（B） 200

10.4　第一型曲面积分 200

10.4.1　第一型曲面积分的概念与性质 201

10.4.2　第一型曲面积分的计算 202

习题10-4（A） 204

习题10-4（B） 204

10.5　第二型曲面积分 205

10.5.1　有向曲面及其侧 205

10.5.2　第二型曲面积分的定义 207

10.5.3　第二型曲面积分的性质 209

10.5.4　第二型曲面积分的计算 210

10.5.5　两类曲面积分之间的联系 213

习题10-5（A） 216

习题10-5（B） 216

10.6 高斯公式与斯托克斯公式 217

10.6.1　高斯公式 217

10.6.2　通量与散度 221

10.6.3　斯托克斯公式 222

10.6.4　环流量与旋度 224

习题10-6（A） 227

习题10-6（B） 227

总习题10 228

第11章　无穷级数 231

11.1　数项级数 231

11.1.1　数项级数的概念 231

11.1.2　收敛级数的性质 234

习题11-1（A） 236

习题11-1（B） 237

11.2　正项级数收敛的判别法 237

习题11-2（A） 243

习题11-2（B） 244

11.3　任意项级数的收敛与绝对收敛 245

11.3.1　任意项级数及其绝对收敛 245

11.3.2　交错级数 247

11.3.3　条件收敛 248

11.3.4　绝对收敛级数的性质 249

习题11-3（A） 250

习题11-3（B） 250

11.4　幂级数 250

11.4.1 函数项级数的概念 250

11.4.2　幂级数及其收敛域 251

11.4.3　幂级数的算术运算法则与和函数的分析性质 257

习题11-4（A） 259

习题11-4（B） 260

11.5　函数的幂级数展开 261

11.5.1 函数的泰勒级数 261

11.5.2 函数的幂级数展开 263

11.5.3 函数的幂级数展开式的应用 268

习题11-5（A） 271

习题11-5（B） 272

11.6　傅里叶级数 275

11.6.1　三角函数系与三角级数 275

11.6.2　周期函数的傅里叶级数 276

11.6.3　周期函数的傅里叶级数展开 277

11.6.4　奇偶函数的傅里叶级数 279

11.6.5　一般周期函数的傅里叶级数 282

习题11-6（A） 284

习题11-6（B） 285

11.7　利用软件写出泰勒展式和级数求和 287

11.7.1　函数的级数展开 287

11.7.2　求和 288

总习题11 289

附录 习题参考答案 292