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第一章　函数、极限和连续 1

1.1 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种基本特性 8

三、反函数 9

四、复合函数 12

五、初等函数 13

六、双曲函数与反双曲函数 17

习题1.1 22

1.2　数列的极限 24

一、提出问题 24

二、数列的极限 25

习题1.2 32

1.3　函数的极限 33

一、x→∞时函数y=f（x）的极限 34

二、x→x0时函数y=f（x）的极限 38

三、函数极限的性质 44

习题1.3 47

1.4　无穷小与无穷大 48

一、无穷小 48

二、无穷大 51

习题1.4 54

1.5　极限的运算法则 55

习题1.5 62

1.6　两个重要的极限 63

一、重要极限lim x→0 sinx/x=1 63

二、重要极限lim x→∞（1+1/x）x=e 66

习题1.6 70

1.7　无穷小的比较 71

习题1.7 74

1.8 函数的连续性 75

一、函数连续的概念 75

二、函数的间断点 79

习题1.8 83

1.9　连续函数的运算 84

一、连续函数的四则运算 84

二、反函数的连续性 85

三、复合函数的连续性 86

四、初等函数的连续性 88

习题1.9 89

1.10　闭区间上连续函数的性质 90

习题1.10 93

测试题一 94

第二章　导数与微分 97

2.1　导数的概念 97

一、引例 97

二、导数的定义 100

三、求导数举例 101

四、导数的几何意义 104

五、函数的可导性与连续性之间的关系 105

习题2.1 107

2.2 求导法则 109

一、导数的四则运算法则 109

二、复合函数的求导法则 112

三、反函数的求导法则 115

四、双曲函数与反双曲函数的导数 121

习题2.2 122

2.3　高阶导数 124

习题2.3 128

2.4　隐函数与参数方程确定的函数的导数及相关变化率 129

一、隐函数的导数 129

二、由参数方程所确定的函数的导数 132

三、相关变化率 136

习题2.4 137

2.5　函数的微分 139

一、微分的概念 139

二、微分的基本公式及运算法则 143

三、微分的应用 146

习题2.5 150

测试题二 152

第三章　微分学的基本定理和导数的应用 155

3.1　中值定理 155

一、罗尔（Rolle）定理 155

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 157

三、柯西（Cauchy）中值定理 160

习题3.1 162

3.2　罗必塔法则 163

一、0/0型和∞／∞型未定式的极限 163

二、其他类型未定式的极限 166

习题3.2 169

3.3　泰勒公式 170

一、泰勒（Taylor）公式 170

二、马克劳林（Maclaurin）公式 173

习题3.3 176

3.4　函数的单调性与极值 177

一、函数单调性的判别法 177

二、函数的极值 180

三、最大值与最小值 185

习题3.4 189

3.5　函数图形的描绘 191

一、曲线的凹向和拐点 191

二、曲线的渐近线 195

三、描绘函数图形的一般步骤 197

习题3.5 200

3.6　曲率 200

一、弧微分 200

二、曲率及其计算公式 202

三、曲率圆与曲率半径 205

习题3.6 207

3.7　微分学在经济中的应用 208

一、边际分析 208

二、弹性分析 211

三、成本与利润的最佳化 213

习题3.7 214

测试题三 215

第四章　不定积分 218

4.1　不定积分的概念及其性质 218

一、原函数和不定积分的概念 218

二、不定积分的基本性质 221

三、基本积分公式 222

习题4.1 225

4.2　换元积分法 226

一、第一换元法 226

二、第二换元法 234

习题4.2 241

4.3　分部积分法 244

习题4.3 249

4.4　几种特殊类型函数的积分举例 250

一、有理函数的积分 250

二、三角函数有理式的积分 257

三、简单无理式的积分 259

习题4.4 261

测试题四 263

第五章　定积分 266

5.1　定积分概念 266

一、实践中的定积分问题 266

二、定积分的定义 269

三、定积分的几何意义 271

习题5.1 273

5.2　定积分的性质 273

习题5.2 277

5.3　微积分基本公式 278

一、积分上限的函数及其导数 279

二、牛顿-莱布尼兹公式 281

习题5.3 286

5.4　定积分的换元法与分部积分法 288

一、定积分的换元法 288

二、定积分的分部积分法 293

习题5.4 296

5.5　广义积分 299

一、无限区间上的广义积分 299

二、有无穷间断点的广义积分 303

三、Г函数与β函数 306

习题5.5 308

测试题五 309

第六章　定积分的应用 313

6.1　定积分的元素法 313

6.2　平面图形的面积 315

一、直角坐标情形 315

二、极坐标情形 319

习题6.2 320

6.3　体积 322

一、平行截面面积为已知的立体的体积 322

二、旋转体的体积 323

习题6.3 325

6.4　平面曲线的弧长 326

习题6.4 329

6.5　旋转曲面的面积 330

习题6.5 331

6.6　定积分在物理上的应用 332

一、变力沿直线做功 332

二、液体静压力 334

三、引力 335

习题6.6 336

6.7　定积分在经济上的应用 337

一、由边际函数求总函数 337

二、资本的现值与投资问题 340

习题6.7 341

测试题六 343

第七章　微分方程 346

7.1　微分方程的基本概念 346

习题7.1 350

7.2　一阶微分方程 350

一、可分离变量的微分方程 350

二、一阶齐次微分方程 362

习题7.2 364

7.3　一阶线性微分方程 367

习题7.3 376

7.4　可降阶的二阶微分方程 378

一、y(n)=f（x）型 378

二、y″＝f（x,y′）型 379

三、y″＝f（y,y′）型 379

习题7.4 385

7.5　二阶常系数微分方程 385

一、二阶常系数齐次线性微分方程 386

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 391

习题7.5 398

7.6　差分方程 399

一、差分与差分方程的基本概念 400

二、一阶常系数线性差分方程 403

三、二阶常系数线性差分方程 405

四、差分方程在经济中的应用 409

习题7.6 410

测试题七 412

习题与测试题参考答案 415

附录Ⅰ 几种常用的曲线 448

附录Ⅱ 积分表 453

参考书目 466