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前言 1

第1章 函数与极限 1

1.1 集合与区间 1

1.1.1 集合与集合的运算 1

1.1.2 绝对值 4

1.1.3 区间与邻域 5

习题1-1 6

1.2 函数 7

1.2.1 函数的概念 7

1.2.2 函数定义域的求法 9

1.2.3 分段函数 10

1.2.4 函数的几种特性 11

1.2.5 反函数 14

1.2.6 复合函数与初等函数 15

习题1-2 19

1.3 极限的概念 21

1.3.1 数列的极限 21

1.3.2 函数的极限 23

习题1-3 27

*1.4 关于极限的精确定义 27

1.4.1 数列极限的“ε-N”定义 27

1.4.2 函数极限的“ε-X”定义 29

1.4.3 函数极限的“ε-δ”定义 30

*习题1-4 31

1.5 无穷小量与无穷大量 31

1.5.1 无穷小量 32

1.5.2 无穷大量 32

1.5.3 无穷小的比较 33

习题1-5 34

1.6 极限的运算法则 34

1.6.1 极限的四则运算法则 34

1.6.2 复合函数的极限 37

习题1-6 37

1.7 极限存在准则 两个重要极限 39

1.7.1 极限存在的两个准则 39

1.7.2 两个重要极限 39

习题1-7 43

1.8 函数的连续性与间断点 43

1.8.1 函数的连续性 43

1.8.2 函数的间断点 45

1.8.3 初等函数的连续性 47

1.8.4 闭区间上连续函数的性质 48

习题1-8 50

复习题1 51

第2章 导数与微分 54

2.1 导数的概念 54

2.1.1 函数的变化率问题举例 54

2.1.2 导数的定义 55

2.1.3 用导数定义求导数举例 56

2.1.4 导数的几何意义 59

2.1.5 函数的可导性与连续性之间的关系 60

习题2-1 61

2.2 求导数的基本法则 62

2.2.1 导数的四则运算法则 62

2.2.2 反函数的求导法则 64

2.2.3 复合函数的求导法则 66

习题2-2 69

2.3 隐函数及参数方程所表示的函数的求导法 71

2.3.1 隐函数的求导法 71

2.3.2 对数求导法 72

2.3.3 由参数方程所表示的函数的求导法 73

习题2-3 74

2.4 高阶导数 75

习题2-4 78

2.5 函数的微分 79

2.5.1 微分的概念 79

2.5.2 微分的基本公式与运算法则 81

2.5.3 微分在近似计算中的应用 83

习题2-5 84

复习题2 86

第3章 中值定理与导数的应用 88

3.1 微分中值定理 88

3.1.1 洛尔定理 88

3.1.2 拉格朗日中值定理 88

3.1.3 柯西中值定理 90

习题3-1 91

3.2 罗必塔法则 91

3.2.1 “0/0”型和“∞/∞”型不定式的极限 91

3.2.2 其他不定式的极限 94

习题3-2 95

3.3 函数的单调性与极值 96

3.3.1 函数单调性的判别法 96

3.3.2 函数的极值及其判别法 98

3.3.3 函数的最值及其应用 100

习题3-3 103

3.4 曲线的凹凸与函数作图 104

3.4.1 曲线的凹凸与拐点 104

3.4.2 水平渐近线与垂直渐近线 106

3.4.3 函数图形的描绘 107

习题3-4 108

*3.5 曲率 109

3.5.1 曲率的概念 109

3.5.2 曲率的计算公式 110

3.5.3 曲率半径与曲率圆 112

*习题3-5 113

复习题3 113

第4章 不定积分 116

4.1 原函数与不定积分 116

4.1.1 原函数与不定积分的概念 116

4.1.2 基本积分公式 118

4.1.3 不定积分的性质 119

习题4-1 121

4.2 换元积分法 122

4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 122

4.2.2 第二类换元积分法 125

4.2.3 基本积分公式的扩充 129

习题4-2 130

4.3 分部积分法 131

习题4-3 134

4.4 有理函数与三角函数有理式的积分举例 135

4.4.1 有理函数的积分举例 135

*4.4.2 三角函数有理式的积分举例 138

习题4-4 139

4.5 积分表的使用 139

习题4-5 141

复习题4 142

第5章 定积分及其应用 145

5.1 定积分的概念 145

5.1.1 预备知识—求和记号“∑” 145

5.1.2 定积分问题举例 146

5.1.3 定积分的定义 148

5.1.4 定积分的几何意义 149

5.1.5 定积分的性质 151

习题5-1 153

5.2 微积分基本定理 153

5.2.1 积分上限函数 154

5.2.2 微积分基本定理 155

习题5-2 157

5.3 定积分的积分法 157

5.3.1 定积分的换元积分法 157

5.3.2 定积分的分部积分法 160

习题5-3 162

5.4 广义积分 163

5.4.1 无穷区间上的广义积分 163

5.4.2 无界函数的广义积分 164

习题5-4 166

5.5 定积分的几何应用 167

5.5.1 定积分的微元法 167

5.5.2 平面图形的面积 167

5.5.3 体积 171

习题5-5 174

5.6 定积分的物理应用 174

5.6.1 变力沿直线所作的功 174

5.6.2 液体的压力 176

5.6.3 平均值 177

习题5-6 179

复习题5 180

第6章 常微分方程 183

6.1 常微分方程的基本概念 183

习题6-1 185

6.2 一阶微分方程 186

6.2.1 可分离变量的微分方程 186

6.2.2 一阶线性微分方程 189

6.2.3 一阶微分方程应用举例 192

习题6-2 195

6.3 二阶常系数线性微分方程 196

6.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程 196

6.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 200

6.3.3 二阶常系数线性微分方程应用举例 205

习题6-3 209

6.4 可降阶的高阶微分方程 210

6.4.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 210

6.4.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 211

6.4.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 212

*习题6-4 213

复习题6 213

第7章 向量代数与空间解析几何 215

7.1 空间直角坐标系 215

7.1.1 空间直角坐标系 215

7.1.2 空间点的坐标 216

7.1.3 空间两点间的距离公式 216

习题7-1 216

7.2 向量的概念及几何运算 217

7.2.1 向量的概念 217

7.2.2 向量的加减运算 217

7.2.3 数与向量的乘法 218

习题7-2 219

7.3 向量代数 219

7.3.1 向量的坐标表示式 219

7.3.2 向量线性运算的坐标表示式 220

7.3.3 向量的模与方向余弦的坐标表示式 221

7.3.4 两向量的数量积 223

7.3.5 两向量的向量积 226

*7.3.6 三向量的混合积 229

习题7-3 230

7.4 平面与空间直线 231

7.4.1 平面方程 232

7.4.2 空间直线方程 234

*7.4.3 位置关系 236

习题7-4 239

7.5 曲面与空间曲线 240

7.5.1 曲面方程和空间曲线方程的概念 240

7.5.2 几种常见的曲面及其方程 241

7.5.3 二次曲面 244

习题7-5 246

复习题7 247

第8章 多元函数的微分法及其应用 249

8.1 多元函数 249

8.1.1 多元函数的概念 249

8.1.2 二元函数的极限与连续性 251

习题8-1 253

8.2 偏导数 254

8.2.1 偏导数的定义 254

8.2.2 高阶偏导数 258

习题8-2 260

8.3 全微分 260

习题8-3 263

8.4 多元复合函数的导数 263

8.4.1 多元复合函数的求导法则 263

8.4.2 隐函数的求导法则 267

习题8-4 269

8.5 偏导数的几何应用 270

8.5.1 空间曲线的切线与法平面 270

8.5.2 曲面的切平面与法线 272

习题8-5 274

8.6 多元函数的极值及其求法 274

8.6.1 多元函数的极值与最大值、最小值 274

*8.6.2 条件极值 277

习题8-6 278

复习题8 279

第9章 多元函数的积分 281

9.1 二重积分 281

9.1.1 二重积分的概念 281

9.1.2 二重积分的性质 283

9.1.3 二重积分的计算方法 284

9.1.4 二重积分的应用举例 291

习题9-1 297

*9.2 三重积分 299

9.2.1 三重积分的概念 299

9.2.2 三重积分的计算方法 300

习题9-2 304

9.3 曲线积分 304

9.3.1 对坐标的曲线积分的概念 304

9.3.2 对坐标的曲线积分的性质 306

9.3.3 对坐标的曲线积分的计算方法 307

9.3.4 格林公式 309

9.3.5 平面上曲线积分与路径无关的条件 313

习题9-3 316

*9.4 曲面积分 318

9.4.1 对坐标的曲面积分的概念 318

9.4.2 对坐标的曲面积分的性质 321

9.4.3 对坐标的曲面积分的计算方法 321

9.4.4 高斯公式 323

*习题9-4 324

复习题9 324

第10章 无穷级数 329

10.1 数项级数的概念 329

10.1.1 数项级数的基本概念 329

10.1.2 数项级数的性质 331

10.1.3 级数收敛的必要条件 331

习题10-1 332

10.2 数项级数的审敛法 333

10.2.1 正项级数及其审敛法 333

10.2.2 任意项级数 336

习题10-2 338

10.3 幂级数 339

10.3.1 幂级数及其收敛性 339

10.3.2 幂级数的性质 342

习题10-3 343

10.4 函数展开成幂级数 344

10.4.1 泰勒公式 344

10.4.2 泰勒级数 345

10.4.3 函数展开成幂级数 346

习题10-4 349

复习题10 349

第11章 傅立叶级数 352

11.1 傅立叶级数 352

11.1.1 三角函数系及其正交性 352

11.1.2 以2π为周期的函数展开成傅立叶级数 352

习题11-1 355

11.2 正弦级数和余弦级数 355

11.2.1 奇、偶函数的傅立叶级数 356

11.2.2 定义在［—π，π］或［0，π］上的函数展开成傅立叶级数 357

习题11-2 360

11.3 以2l为周期的函数展开成傅立叶级数 360

习题11-3 362

*11.4 傅立叶级数的复数形式 362

*习题11-4 364

复习题11 364

附录A 初等数学的重要数学公式 366

附录B 积分表 370

附录C 习题参考答案 378