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第1章 函数、极限与连续 1

1.1函数的基本概念 1

1.1.1集合与区间 1

1.1.2函数概念 3

1.1.3复合函数 5

1.1.4反函数 6

1.1.5基本初等函数与初等函数 6

1.1.6函数的几种特性 9

习题1.1 10

1.2数列的极限 11

1.2.1数列的概念 11

1.2.2数列极限的性质与运算法则 15

习题1.2 17

1.3函数的极限 18

1.3.1当x→∞时函数的极限 18

1.3.2当x→x0时函数的极限 19

1.3.3函数极限的性质和运算法则 21

习题1.3 23

1.4两个重要的极限 24

1.4.1 ?，式中x以弧度为单位 24

1.4.2 ?或? 26

习题1.4 28

1.5无穷小与无穷大 29

1.5.1无穷小 29

1.5.2无穷大 30

1.5.3无穷小的比较 31

1.5.4利用等价无穷小的代换求极限 32

习题1.5 33

1.6函数的连续性 34

1.6.1函数的连续性 34

1.6.2连续函数的运算 36

1.6.3函数的间断点 36

1.6.4闭区间上的连续函数的性质 37

习题1.6 39

复习题 41

第2章 一元函数微分学 45

2.1导数的概念 45

2.1.1导数概念的引出 45

2.1.2导数的定义 46

2.1.3求导数举例 47

2.1.4导数的几何意义 48

2.1.5函数可导性与连续性的关系 48

习题2.1 49

2.2求导法则、初等函数的导数 51

2.2.1函数的四则求导法则 51

2.2.2复合函数的求导法则 52

2.2.3反函数的求导法则 53

2.2.4初等函数的求导问题 54

2.2.5隐函数的导数 55

习题2.2 57

2.3高阶导数 59

2.3.1高阶导数的概念 59

2.3.2二阶导数的物理意义 60

习题2.3 60

2.4微分及其应用 61

2.4.1微分的概念 61

2.4.2微分的几何意义 63

2.4.3微分的基本公式与运算法则 63

2.4.4由参数方程所确定的函数的导数 64

习题2.4 66

2.5微分中值定理 67

2.5.1罗尔定理 67

2.5.2拉格朗日中值定理 68

2.5.3柯西中值定理 69

习题2.5 70

2.6洛必达法则 71

2.6.1 0/0型、∞/∞型未定式 71

2.6.2其他类型的未定式 72

习题2.6 73

2.7函数的单调性与函数图形的凹凸性 74

2.7.1函数的单调性 74

2.7.2曲线的凹凸性与拐点 75

习题2.7 77

2.8函数的极值与最值 78

2.8.1函数的极值及其求法 78

2.8.2最值问题 80

习题2.8 82

2.9函数的水平渐近线与铅直渐近线 83

2.9.1曲线的渐近线 83

2.9.2函数图形的描绘 84

习题2.9 85

复习题 85

第3章 不定积分 87

3.1不定积分的概念与性质 87

3.1.1问题的引出 87

3.1.2原函数与不定积分的概念 87

3.1.3不定积分的几何意义 89

3.1.4不定积分的性质 89

3.1.5基本积分公式 90

3.1.6直接积分法 91

习题3.1 91

3.2第一类换元积分法 93

3.2.1问题的引出 93

3.2.2第一类换元法（或称凑微分法） 93

习题3.2 100

3.3第二类换元积分法 101

3.3.1简单根式代换 102

3.3.2三角代换 102

3.3.3倒代换 104

习题3.3 105

3.4不定积分的分部积分法 106

习题3.4 109

复习题 110

第4章 定积分及其应用 113

4.1定积分的基本概念 113

4.1.1问题的引出 113

4.1.2定积分的定义及几何意义 115

习题4.1 117

4.2定积分的性质 118

习题4.2 120

4.3微积分基本定理 121

4.3.1变上限的积分函数 122

4.3.2牛顿-莱布尼茨公式 124

习题4.3 125

4.4定积分的换元积分法与分部积分法 126

4.4.1定积分的换元积分法 126

4.4.2定积分的分部积分法 129

习题4.4 130

4.5定积分的应用 131

4.5.1微元法 131

4.5.2定积分在几何上的应用 132

习题4.5 135

4.6广义积分 137

4.6.1无穷区间上的广义积分 137

4.6.2无界函数的广义积分 139

习题4.6 141

复习题 142

第5章 多元函数微分学 147

5.1预备知识 147

5.1.1空间直角坐标系 147

5.1.2曲面及其方程 148

5.2多元函数的基本概念 150

5.2.1多元函数的概念 150

5.2.2二元函数的极限与连续性 153

习题5.2 154

5.3偏导数 156

5.3.1偏导数的概念 156

5.3.2高阶偏导数 158

习题5.3 159

5.4全微分 161

5.4.1全微分的定义 161

5.4.2全微分在近似计算中的应用 163

习题5.4 164

5.5复合函数与隐函数求导法 165

5.5.1复合函数求导法 165

5.5.2隐含数求导法 168

习题5.5 171

5.6多元函数的极值 172

5.6.1二元函数的极值及求法 172

5.6.2最大值与最小值 173

5.6.3条件极值 174

习题5.6 176

复习题 178

第6章 二重积分 181

6.1二重积分的概念与性质 181

6.1.1二重积分的概念 181

6.1.2二重积分的性质 183

习题6.1 185

6.2二重积分的计算 186

6.2.1直角坐标下区域的表示 186

6.2.2直角坐标下二重积分的计算 187

习题6.2 193

复习题 194

第7章 无穷级数 197

7.1常数项级数的概念与性质 197

7.1.1常数项级数的概念 197

7.1.2常数项级数的基本性质 198

7.1.3级数收敛的必要条件 199

习题7.1 200

7.2常数项级数的审敛法 201

7.2.1正项级数及其审敛法 201

7.2.2交错级数及其审敛法 204

7.2.3任意项级数及其审敛法 204

习题7.2 205

7.3幂级数 207

7.3.1函数项级数的概念 207

7.3.2幂级数及其收敛性 208

7.3.3幂级数的运算 210

习题7.3 211

7.4函数的幂级数展开式 212

7.4.1泰勒级数 212

7.4.2函数展开成幂级数 212

习题7.4 214

复习题 214

第8章 常微分方程 217

8.1微分方程的基本概念 217

8.1.1实例 217

8.1.2微分方程的定义 218

8.1.3微分方程的解 218

习题8.1 219

8.2可分离变量的微分方程 220

习题8.2 222

8.3齐次微分方程 222

习题8.3 223

8.4一阶线性微分方程 224

8.4.1一阶线性齐次方程 224

8.4.2一阶线性非齐次方程 224

8.4.3贝努利方程 226

习题8.4 227

复习题 227

习题参考答案 230

附录 258

附录A 考试大纲 258

附录B 常用公式 273

参考文献 277