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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

习题7-1 3

第二节 空间直角坐标系与向量的坐标 3

一、空间直角坐标系 3

二、空间两点间的距离 4

三、向量在轴上的投影和向量的坐标 5

四、向量的模、方向角和方向余弦 7

习题7-2 8

第三节 向量的乘法运算 8

一、两向量的数量积（点积、内积） 8

二、两向量的向量积（叉积、外积） 10

三、向量的混合积 13

习题7-3 14

第四节 平面及其方程 14

一、平面的方程 15

二、两平面的夹角 17

三、点到平面的距离 18

习题7-4 19

第五节 空间直线及其方程 19

一、空间直线的方程 19

二、两直线的夹角 21

三、平面与直线的夹角 22

四、平面束 23

习题7-5 24

第六节 曲面及其方程 24

一、柱面与旋转曲面 25

二、常见的二次曲面 27

习题7-6 31

第七节 空间曲线及其方程 31

一、空间曲线一般方程 31

二、空间曲线在坐标面上的投影 33

习题7-7 35

总习题七 35

拓展阅读 39

第八章 多元函数微分学 44

第一节 多元函数的极限与连续 44

一、平面点集 44

二、多元函数 46

三、多元函数的极限 47

四、多元函数的连续性 49

习题8-1 50

第二节 偏导数 50

一、偏导数定义 51

二、高阶偏导数 54

习题8-2 56

第三节 全微分 57

一、全微分定义 57

二、全微分在近似计算中的应用 60

习题8-3 60

第四节 多元复合函数求导法则 61

习题8-4 64

第五节 隐函数求导法则 65

一、一个方程的情形 65

二、方程组的情形 67

习题8-5 70

第六节 方向导数与梯度 70

一、方向导数与梯度 71

习题8-6 76

第七节 多元函数微分学的应用 77

一、空间曲线的切线与法平面 77

二、曲面的切平面与法线 80

习题8-7 82

第八节 多元函数极值及求法 83

一、多元函数的极值 83

二、多元函数的最值 84

三、条件极值及拉格朗日乘子法 85

习题8-8 88

第九节 多元函数的泰勒公式 89

习题8-9 91

总习题八 92

拓展阅读 96

第九章 重积分 99

第一节 黎曼（Riemann）积分的概念与性质 99

一、黎曼积分的概念 99

二、黎曼积分的性质 101

习题9-1 103

第二节 二重积分 103

一、二重积分的几何意义 104

二、二重积分的计算 105

习题9-2 115

第三节 三重积分 117

一、直角坐标系下计算三重积分 117

二、柱面坐标系下计算三重积分 119

三、球面坐标系下计算三重积分 120

习题9-3 122

第四节 重积分的应用 122

一、平面图形的面积和几何体的体积 122

二、曲面的面积 125

三、质量与质心 127

四、转动惯量 129

习题9-4 129

总习题九 130

拓展阅读 131

第十章 曲线积分与曲面积分 135

第一节 数量值函数的曲线积分与曲面积分 135

一、数量值函数的曲线积分（第一类曲线积分） 135

二、数量值函数的曲面积分（第一类曲面积分） 139

习题10-1 141

第二节 向量值函数在定向曲线上的积分（第二类曲线积分） 142

一、第二类曲线积分的概念 142

二、第二类曲线积分的计算 144

三、两类曲线积分的关系 147

习题10-2 147

第三节 格林（Green）公式及应用 148

一、格林公式 148

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 151

习题10-3 155

第四节 向量值函数在定向曲面上的积分（第二类曲面积分） 156

一、第二类曲面积分的概念 156

二、第二类曲面积分的计算 159

三、两类曲面积分的关系 161

习题10-4 162

第五节 高斯（Gauss）公式与散度 163

一、高斯公式 163

二、散度 165

习题10-5 166

第六节 斯托克斯（Stokes）公式与旋度 167

一、斯托克斯公式 167

二、旋度 170

习题10-6 171

总习题十 171

拓展阅读 172

第十一章 无穷级数 177

第一节 数项级数的概念与基本性质 177

一、数项级数及其敛散性 177

二、收敛级数的基本性质 180

习题11-1 183

第二节 正项级数的审敛法 183

习题11-2 189

第三节 一般项级数的审敛法 190

一、交错级数及莱布尼茨定理 190

二、级数的绝对收敛与条件收敛 192

习题11-3 196

第四节 幂级数 196

一、函数项级数的概念 196

二、幂级数及其收敛区间 197

三、幂级数的运算及性质 201

习题11-4 203

第五节 函数的幂级数展开 204

一、泰勒级数 204

二、初等函数的幂级数展开 206

三、幂级数在近似计算上的应用 210

习题11-5 211

第六节 傅里叶级数 212

一、三角函数系与三角级数 212

二、函数的傅里叶级数 213

三、正弦级数和余弦级数 217

四、以2l为周期的函数的傅里叶级数 221

五、傅里叶级数的复数形式 223

习题11-6 225

总习题十一 227

拓展阅读 228

附录 二阶与三阶行列式 231

参考答案 233

参考文献 251