数值分析 第5版PDF电子书下载

上篇 数值算法分析 1

第1章 绪论 1

1.1 数值分析研究的对象与特点 1

1.2 误差来源与误差分析的重要性 2

1.3 误差的基本概念 4

1.3.1 误差与误差限 4

1.3.2 相对误差与相对误差限 5

1.3.3 有效数字 6

1.3.4 数值运算的误差估计 7

1.4 数值运算中误差分析的方法与原则 9

1.4.1 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 9

1.4.2 要避免两相近数相减 10

1.4.3 要防止大数“吃掉”小数 11

1.4.4 注意简化计算步骤，减少运算次数 11

小结 12

习题 12

第2章 插值法 14

2.1 引言 14

2.2 Lagrange插值 15

2.2.1 插值多项式的存在唯一性 15

2.2.2 线性插值与抛物插值 16

2.2.3 Lagrange插值多项式 18

2.2.4 插值余项 19

2.3 逐次线性插值法 21

2.4 差商与Newton插值公式 23

2.4.1 差商及其性质 23

2.4.2 Newton插值公式 24

2.5 差分与等距节点插值公式 26

2.5.1 差分及其性质 26

2.5.2 等距节点插值公式 28

2.6 Hermite插值 29

2.7 分段低次插值 32

2.7.1 多项式插值的问题 32

2.7.2 分段线性插值 33

2.7.3 分段三次Hermite插值 34

2.8 三次样条插值 36

2.8.1 三次样条函数 36

2.8.2 三转角方程 37

2.8.3 三弯矩方程 39

2.8.4 计算步骤与例题 40

2.8.5 三次样条插值的收敛性 41

小结 42

习题 43

第3章 函数逼近与计算 45

3.1 引言与预备知识 45

3.1.1 问题的提出 45

3.1.2 Weierstrass定理 46

3.1.3 连续函数空间C[a，b] 47

3.2 最佳一致逼近多项式 47

3.2.1 最佳一致逼近多项式的存在性 47

3.2.2 Chebyshev定理 48

3.2.3 最佳一次逼近多项式 50

3.3 最佳平方逼近 52

3.3.1 内积空间 52

3.3.2 函数的最佳平方逼近 54

3.4 正交多项式 57

3.4.1 正交化手续 57

3.4.2 Legendre多项式 57

3.4.3 Chebyshev多项式 60

3.4.4 其他常用的正交多项式 62

3.5 函数按正交多项式展开 63

3.6 曲线拟合的最小二乘法 65

3.6.1 一般的最小二乘逼近 65

3.6.2 用正交函数作最小二乘拟合 69

3.6.3 多元最小二乘拟合 71

3.7 Fourier逼近与快速Fourier变换 71

3.7.1 最佳平方三角逼近与三角插值 71

3.7.2 快速Fourier变换 74

小结 77

习题 77

第4章 数值积分与数值微分 80

4.1 引言 80

4.1.1 数值求积的基本思想 80

4.1.2 代数精度的概念 81

4.1.3 插值型的求积公式 82

4.2 Newton-Cotes公式 82

4.2.1 Cotes系数 82

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度 84

4.2.3 几种低阶求积公式的余项 85

4.2.4 复化求积法及其收敛性 86

4.3 Romberg算法 88

4.3.1 梯形法的递推化 88

4.3.2 Romberg公式 89

4.3.3 Richardson外推加速法 91

4.3.4 梯形法的余项展开式 92

4.4 Gauss公式 93

4.4.1 Gauss点 94

4.4.2 Gauss-Legendre公式 95

4.4.3 Gauss公式的余项 96

4.4.4 Gauss公式的稳定性 96

4.4.5 带权的Gauss公式 97

4.5 数值微分 99

4.5.1 中点方法 99

4.5.2 插值型的求导公式 100

4.5.3 实用的五点公式 102

4.5.4 样条求导 103

小结 104

习题 104

第5章 常微分方程数值解法 106

5.1 引言 106

5.2 Euler方法 106

5.2.1 Euler格式 106

5.2.2 后退的Euler格式 108

5.2.3 梯形格式 109

5.2.4 改进的Euler格式 110

5.2.5 Euler两步格式 111

5.3 Runge-Kutta方法 113

5.3.1 Taylor级数法 113

5.3.2 Runge-Kutta方法的基本思想 114

5.3.3 二阶Runge-Kutta方法 115

5.3.4 三阶Runge-Kutta方法 116

5.3.5 四阶Runge-Kutta方法 118

5.3.6 变步长的Runge-Kutta方法 119

5.4 单步法的收敛性和稳定性 120

5.4.1 单步法的收敛性 120

5.4.2 单步法的稳定性 122

5.5 线性多步法 124

5.5.1 基于数值积分的构造方法 124

5.5.2 Adams显式格式 125

5.5.3 Adams隐式格式 126

5.5.4 Adams预测-校正系统 127

5.5.5 基于Taylor展开的构造方法 128

5.5.6 Milne格式 130

5.5.7 Hamming格式 131

5.6 方程组与高阶方程的情形 132

5.6.1 一阶方程组 132

5.6.2 化高阶方程组为一阶方程组 133

5.7 边值问题的数值解法 134

5.7.1 试射法 135

5.7.2 差分方程的建立 135

5.7.3 差分问题的可解性 137

5.7.4 差分方法的收敛性 138

小结 140

习题 140

第6章 方程求根 142

6.1 根的搜索 142

6.1.1 逐步搜索法 142

6.1.2 二分法 142

6.2 迭代法 144

6.2.1 迭代过程的收敛性 144

6.2.2 迭代公式的加工 147

6.3 Newton法 149

6.3.1 Newton公式 149

6.3.2 Newton法的几何解释 150

6.3.3 Newton法的局部收敛性 151

6.3.4 Newton法应用举例 152

6.3.5 Newton下山法 153

6.4 弦截法与抛物线法 154

6.4.1 弦截法 155

6.4.2 抛物线法 156

6.5 代数方程求根 158

6.5.1 多项式求值的秦九韶算法 158

6.5.2 代数方程的Newton法 159

6.5.3 劈因子法 160

小结 162

习题 162

第7章 解线性方程组的直接方法 164

7.1 引言 164

7.2 Gauss消去法 164

7.2.1 消元手续 165

7.2.2 矩阵的三角分解 168

7.2.3 计算量 170

7.3 Gauss主元素消去法 171

7.3.1 完全主元素消去法 172

7.3.2 列主元素消去法 173

7.3.3 Gauss-Jordan消去法 175

7.4 Gauss消去法的变形 178

7.4.1 直接三角分解法 178

7.4.2 平方根法 181

7.4.3 追赶法 184

7.5 向量和矩阵的范数 186

7.6 误差分析 192

7.6.1 矩-阵的条件数 192

7.6.2 舍入误差 197

小结 198

习题 198

第8章 解线性方程组的迭代法 202

8.1 引言 202

8.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法 204

8.2.1 Jacobi迭代法 204

8.2.2 Gauss-Seidel迭代法 205

8.3 迭代法的收敛性 206

8.4 解线性方程组的超松弛迭代法 213

小结 217

习题 217

第9章 矩阵的特征值与特征向量计算 220

9.1 引言 220

9.2 幂法及反幂法 222

9.2.1 幂法 222

9.2.2 加速方法 225

9.2.3 反幂法 227

9.3 Householder方法 230

9.3.1 引言 230

9.3.2 用正交相似变换约化矩阵 232

9.4 QR算法 237

9.4.1 引言 237

9.4.2 QR算法 239

9.4.3 带原点位移的QR方法 242

小结 246

习题 246

下篇 高效算法设计 248

第10章 快速算法设计：快速Walsh变换 248

10.1 美的Walsh函数 248

10.1.1 微积分的逼近法 248

10.1.2 Walsh函数的复杂性 249

10.1.3 Walsh分析的数学美 250

10.2 Walsh函数代数化 251

10.2.1 时基上的二分集 251

10.2.2 Walsh函数的矩阵表示 252

10.3 Walsh阵的二分演化 252

10.3.1 矩阵的对称性复制 253

10.3.2 Walsh阵的演化生成 253

10.3.3 Walsh阵的演化机制 254

10.3.4 Hadamard阵的演化生成 255

10.4 快速变换FWT 257

10.4.1 FWT的设计思想 257

10.4.2 FWT的演化机制 258

10.4.3 FWT的计算流程 259

10.4.4 FWT的算法实现 261

小结 262

第11章 并行算法设计：递推计算并行化 263

11.1 什么是并行计算 263

11.1.1 一则寓言故事 263

11.1.2 同步并行算法的设计策略 264

11.2 叠加计算 265

11.2.1 倍增技术 265

11.2.2 二分手续 267

11.2.3 数列求和的二分法 268

11.2.4 多项式求值的二分法 269

11.2.5 二分算法的效能分析 270

11.2.6 二分算法的基本特征 271

11.3 一阶线性递推 272

11.3.1 相关链的二分手续 272

11.3.2 算式的建立 273

11.3.3 二分算法的效能分析 275

11.4 三对角方程组 275

11.4.1 相关链的二分手续 276

11.4.2 算式的建立 277

小结 279

第12章 加速算法设计：重差加速技术 281

12.1 千古疑案 281

12.1.1 阿基米德的“穷竭法” 281

12.1.2 祖冲之“缀术”之谜 281

12.2 神来之笔 282

12.2.1 数学史上一篇千古奇文 282

12.2.2 “一飞冲天”的“刘徽神算” 283

12.3 奇光异彩 284

12.3.1 刘徽的新视野 285

12.3.2 偏差比中传出好“消息” 286

12.3.3 只要做一次“俯冲” 286

12.3.4 差之毫厘，失之千里 287

12.3.5 “缀术”再剖析 288

12.3.6 平庸的新纪录 289

12.4 万能引擎 291

12.4.1 逼近加速的重差公设 292

12.4.2 重差加速法则 292

12.4.3 重差加速的逻辑推理 293

第13章 总览 294

13.1 算法重在设计 294

13.1.1 算法设计关系到科学计算的成败 294

13.1.2 算法设计追求简单与统一 295

13.2 直接法的缩减技术 295

13.2.1 数列求和的累加算法 295

13.2.2 缩减技术的设计机理 296

13.2.3 多项式求值的秦九韶算法 297

13.3 迭代法的校正技术 298

13.3.1 开方算法 298

13.3.2 校正技术的设计机理 299

13.4 迭代优化的超松弛技术 300

13.4.1 超松弛技术的设计机理 300

13.4.2 刘徽的“割圆术” 300

13.5 递推加速的二分技术 301

13.5.1 “结绳记数”的快速算法 301

13.5.2 二分技术的设计机理 302

小结 303

部分习题答案 305

参考文献 308