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第1章 空间解析几何初步 1

1.1 向量及线性运算 1

1.1.1 向量的概念 1

1.1.2 向量的线性运算 3

1.1.3 空间直角坐标系 5

习题1.1 10

1.2 数量积与向量积 11

1.2.1 数量积 11

1.2.2 向量积 12

1.2.3 向量的关系及判断 13

习题1.2 14

1.3 平面及其方程 16

1.3.1 平面方程的几种形式 16

1.3.2 两平面的位置关系 18

1.3.3 点到平面的距离 19

习题1.3 20

1.4 直线及其方程 22

1.4.1 直线方程的几种形式 22

1.4.2 直线方程的一般式与对称式相互转化 23

1.4.3 空间中两条直线的位置关系 24

1.4.4 直线与平面的位置关系 25

1.4.5 点到直线的距离 26

习题1.4 27

1.5 曲面及其方程 29

1.5.1 球面 29

1.5.2 椭球面 29

1.5.3 双曲面 31

1.5.4 抛物面 32

1.5.5 柱面 32

1.5.6 旋转曲面 33

习题1.5 36

1.6 曲线及其方程 37

1.6.1 空间曲线方程的概念及几种不同形式的曲线方程 37

1.6.2 空间曲线在坐标面上的投影 37

习题1.6 42

1.7 总习题 43

第2章 多元函数微分法及其应用 45

2.1 多元函数的极限与连续性 45

2.1.1 多元函数的概念 45

2.1.2 二元函数的极限 48

2.1.3 二元函数的连续性 50

习题2.1 50

2.2 偏导数 52

2.2.1 偏导数 52

2.2.2 高阶偏导数 54

习题2.2 56

2.3 全微分 58

2.3.1 全微分的概念 58

2.3.2 全微分在近似计算中的应用 60

习题2.3 61

2.4 多元复合函数微分法 62

2.4.1 复合函数微分法 62

2.4.2 复合函数的全微分 66

习题2.4 67

2.5 隐函数的求导及偏导公式 68

2.5.1 一元隐函数的求导公式 68

2.5.2 二元隐函数的求偏导公式 68

习题2.5 70

2.6 偏导数的应用 71

2.6.1 空间曲线的切线及法平面 71

2.6.2 曲面的切平面与法线 73

习题2.6 76

2.7 方向导数与梯度 78

2.7.1 方向导数 78

2.7.2 梯度 80

习题2.7 81

2.8 多元函数的极值与最值 83

2.8.1 多元函数的极值 83

2.8.2 多元函数的最大值与最小值 85

2.8.3 条件极值 87

习题2.8 88

2.9 总习题 89

第3章 多元函数积分法 91

3.1 二重积分的概念与性质 91

3.1.1 二重积分的概念 91

3.1.2 二重积分的性质 94

习题3.1 95

3.2 二重积分的计算 96

3.2.1 利用直角坐标计算二重积分 96

3.2.2 利用极坐标计算二重积分 101

习题3.2 103

3.3 三重积分 106

3.3.1 三重积分的概念 106

3.3.2 三重积分的计算 106

习题3.3 113

3.4 重积分的应用 114

3.4.1 曲面面积 114

3.4.2 重心 115

3.4.3 转动惯量 117

习题3.4 118

3.5 曲线积分 119

3.5.1 对弧长的曲线积分 119

3.5.2 对坐标的曲线积分 122

习题3.5 125

3.6 格林公式及其应用 127

3.6.1 格林公式 127

3.6.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 129

3.6.3 全微分方程 132

习题3.6 133

3.7 曲面积分 135

3.7.1 对面积的曲面积分 135

3.7.2 对坐标的曲面积分 136

习题3.7 141

3.8 高斯公式与斯托克斯公式 143

3.8.1 高斯公式 143

3.8.2 斯托克斯公式 144

习题3.8 146

3.9 总习题 147

第4章 无穷级数 149

4.1 常数项级数的概念和性质 149

4.1.1 常数项级数的相关概念 149

4.1.2 收敛级数的基本性质 152

4.1.3 级数收敛的条件 154

习题4.1 156

4.2 常数项级数的审敛法 157

4.2.1 正项级数及其审敛法 157

4.2.2 交错级数及其审敛法 162

4.2.3 任意项级数及其绝对收敛、条件收敛 164

习题4.2 166

4.3 幂级数 169

4.3.1 函数项级数的相关概念 169

4.3.2 幂级数及其收敛性 170

4.3.3 幂级数的运算 174

4.3.4 幂级数和函数的性质 175

习题4.3 176

4.4 函数展开成幂级数 178

4.4.1 泰勒级数 178

4.4.2 初等函数的幂级数展开式 181

习题4.4 185

4.5 函数的幂级数展开式的应用 186

4.5.1 近似计算 186

4.5.2 表示初等函数 188

4.5.3 求常数项级数的和 189

4.5.4 微分方程的幂级数解法 190

4.5.5 欧拉公式的形式推导 191

习题4.5 192

4.6 傅里叶级数 193

4.6.1 周期为2π的函数的傅里叶级数 193

4.6.2 傅里叶级数的收敛性 195

4.6.3 周期为2l的函数的傅里叶级数 200

4.6.4 傅里叶级数的复数形式 203

习题4.6 205

4.7 总习题 206