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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数的基本概念 1

1.1.1 函数的定义 1

1.1.2 反函数与复合函数 3

1.1.3 函数的基本性质 4

1.1.4 初等函数 5

习题1.1 5

1.2 数列的极限 7

1.2.1 数列极限问题举例 7

1.2.2 数列的概念 8

1.2.3 数列极限的定义 8

1.2.4 数列极限的性质 10

习题1.2 12

1.3 函数的极限 13

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 13

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 14

1.3.3 函数极限的性质 16

习题1.3 17

1.4 无穷小量与无穷大量 18

1.4.1 无穷小量 18

1.4.2 无穷大量 19

习题1.4 20

1.5 极限的运算法则 20

习题1.5 25

1.6 两个重要极限 26

习题1.6 29

1.7 无穷小量的比较 30

习题1.7 31

1.8 函数的连续性与间断点 32

1.8.1 函数的连续性 32

1.8.2 函数的间断点 33

习题1.8 35

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 35

1.9.1 连续函数的运算 35

1.9.2 初等函数的连续性 36

1.9.3 利用函数的连续性求极限 36

1.9.4 闭区间上连续函数的性质 37

习题1.9 38

总习题1 39

第2章 导数与微分 41

2.1 导数的概念 41

2.1.1 导数概念的引出 41

2.1.2 导数的定义 43

2.1.3 导数的几何意义 47

2.1.4 函数的可导性与连续性之间的关系 48

习题2.1 49

2.2 函数的求导法则 50

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 50

2.2.2 反函数的求导法则 52

2.2.3 复合函数求导法则 54

习题2.2 57

2.3 高阶导数 57

习题2.3 59

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 60

2.4.1 隐函数的导数 60

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 63

习题2.4 64

2.5 微分 65

2.5.1 微分的概念 65

2.5.2 微分的几何意义 67

2.5.3 微分的基本公式和微分运算法则 67

2.5.4 利用微分进行近似计算 71

习题2.5 72

总习题2 72

第3章 微分中值定理与导数的应用 74

3.1 微分中值定理 74

3.1.1 费马引理 74

3.1.2 罗尔定理 75

3.1.3 拉格朗日中值定理 76

3.1.4 柯西中值定理 79

习题3.1 80

3.2 洛必达法则 81

3.2.1 基本未定式0/0 81

3.2.2 基本未定式∞/∞ 83

3.2.3 其他型未定式 84

习题3.2 85

3.3 泰勒公式 86

习题3.3 89

3.4 函数单调性的判别法 89

习题3.4 91

3.5 函数的极值与最大值、最小值 91

3.5.1 函数的极值 91

3.5.2 函数的最大值和最小值 93

3.5.3 应用举例 93

习题3.5 94

3.6 函数作图法 95

3.6.1 曲线的凸凹性与拐点 95

3.6.2 曲线的渐近线 96

3.6.3 函数图形的描绘 97

习题3.6 98

总习题3 99

第4章 不定积分 100

4.1 不定积分的概念与性质 100

4.1.1 原函数与不定积分的概念 100

4.1.2 不定积分的性质 102

习题4.1 102

4.2 不定积分的第一类换元积分法 103

习题4.2 106

4.3 不定积分的第二类换元积分法 107

习题4.3 109

4.4 不定积分的分部积分法 109

习题4.4 112

4.5 有理函数的不定积分 112

习题4.5 114

总习题4 114

第5章 定积分及其应用 116

5.1 定积分的概念与性质 116

5.1.1 定积分实际问题举例 116

5.1.2 定积分的定义 118

5.1.3 定积分的几何意义 119

5.1.4 定积分的性质 121

习题5.1 125

5.2 微积分基本定理 125

5.2.1 可变上限的定积分 126

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 129

习题5.2 131

5.3 定积分的积分法 132

5.3.1 定积分的换元积分法 133

5.3.2 定积分的分部积分法 137

习题5.3 139

5.4 广义积分 140

5.4.1 积分区间为无穷区间的广义积分 140

5.4.2 被积函数具有无穷间断点的广义积分 143

习题5.4 146

5.5 定积分的应用 147

5.5.1 微元法 147

5.5.2 直角坐标系下平面图形的面积 149

5.5.3 极坐标系下平面图形的面积 152

5.5.4 已知平行截面面积的立体的体积 155

5.5.5 旋转体的体积 156

习题5.5 160

总习题5 161

第6章 微分方程 164

6.1 微分方程的基本概念 164

6.1.1 引例 164

6.1.2 基本概念 165

习题6.1 166

6.2 一阶微分方程 166

6.2.1 可分离变量的微分方程与分离变量法 166

6.2.2 齐次微分方程 168

6.2.3 一阶线性微分方程 172

习题6.2 175

6.3 二阶微分方程 176

6.3.1 可降阶的微分方程 176

6.3.2 二阶常系数线性微分方程 178

习题6.3 180

总习题6 181

第7章 空间解析几何简介 185

7.1 向量及其运算 185

7.1.1 向量的概念及其线性运算 185

7.1.2 空间直角坐标系 186

7.1.3 空间两点间的距离、方向角与方向余弦 187

7.1.4 向量的数量积 188

7.1.5 向量的向量积 188

7.1.6 向量的混合积 189

习题7.1 190

7.2 曲面及其方程 190

7.2.1 曲面方程的概念 190

7.2.2 柱面 191

7.2.3 旋转曲面 191

7.2.4 二次曲面 192

习题7.2 193

7.3 曲线及其方程 194

7.3.1 空间曲线的一般方程 194

7.3.2 空间曲线在坐标平面上的投影 194

习题7.3 195

7.4 平面及其方程 195

7.4.1 平面的点法式方程 195

7.4.2 平面的一般方程 196

7.4.3 两平面的夹角 196

习题7.4 197

7.5 空间直线及其方程 198

7.5.1 空间直线的一般方程、对称式方程与参数方程 198

7.5.2 两条直线的夹角 199

7.5.3 直线与平面的夹角 199

习题7.5 200

总习题7 200

第8章 多元函数微分学及其应用 202

8.1 多元函数的极限与连续 202

8.1.1 平面点集与n维空间 202

8.1.2 多元函数的概念 204

8.1.3 多元函数的极限 205

8.1.4 多元函数的连续 206

习题8.1 206

8.2 偏导数与全微分 207

8.2.1 偏导数 207

8.2.2 全微分 211

8.2.3 全微分在近似计算中的应用 214

习题8.2 214

8.3 多元复合函数微分法与隐函数微分法 216

8.3.1 多元复合函数微分法 216

8.3.2 隐函数的求导法 220

习题8.3 224

8.4 多元函数的极值及其应用 225

8.4.1 二元函数的极值及其求法 225

8.4.2 二元函数的最值 227

8.4.3 条件极值与拉格朗日乘数法 228

习题8.4 231

总习题8 231

第9章 二重积分 233

9.1 二重积分的概念与性质 233

9.1.1 二重积分的概念 233

9.1.2 二重积分的性质 236

习题9.1 237

9.2 二重积分的计算 238

9.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 238

9.2.2 在极坐标系下计算二重积分 243

习题9.2 247

总习题9 248

第10章 曲线积分 251

10.1 对弧长的曲线积分 251

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 251

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算方法 253

习题10.1 255

10.2 对坐标的曲线积分 256

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念 256

10.2.2 对坐标的曲线积分的性质 258

10.2.3 对坐标的曲线积分的计算方法 258

10.2.4 两类曲线积分的联系 261

习题10.2 262

10.3 格林公式及其应用 263

10.3.1 格林公式 263

10.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 265

10.3.3 二元函数的全微分求积 267

习题10.3 268

总习题10 269

习题参考答案 271

参考文献 289