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1.1 ？合的运算 1

一、基本概念 1

第一章 函数 极限 连续 1

二、运算规则 3

习题 4

1.2 一元函数 4

一、实数集 4

二、映射 7

三、函数 8

四、函数的几何特性 11

五、反函数 13

六、复合函数 16

习题 19

一、极限的概念 21

1.3 函数的极限 21

二、极限的运算与性质 29

习题 32

1.4 连续函数 33

一、连续的概念 33

二、连续函数的运算及性质 35

三、间断点的分类 36

四、闭区间上连续函数的性质 37

习题 38

1.5 无穷小量 40

一、无穷小量的概念 40

二、无穷小量的阶 42

习题 44

一、物理、生物、化学中的几个实例 46

2.1 导数的概念 46

第二章 导数与微分 46

二、导数的定义及几何意义 47

三、若干基本公式 50

习题 52

2.2 导数的计算 52

一、导数的四则运算 52

二、反函数的导数 54

三、复合函数的导数 56

四、隐函数的求导法则 59

五、由参数方程所确定的函数的求导法则 60

六、高阶导数 61

习题 63

一、微分的概念及其几何意义 65

2.3 微分及其应用 65

二、微分的运算 67

三、微分的应用 69

四、弧长的微分 71

习题 72

第三章 导数的应用 74

3.1 微分学基本定理 74

一、费马(Felmat)引理 74

二、罗尔(Rolle)定理 75

三、拉格朗日(Lagrange)中值定理 76

四、柯西(Cauchy)中值定理 77

习题 78

3.2罗必塔 (L′Hospital)法则 79

一、0/0待定型 79

二、∞/∞待定型 82

三、其它待定型 83

习题 85

3.3 函数的单调性与极值 86

一、函数的单调性 86

二、函数的极值 90

三、最大值与最小值及其在化学、生物中的应用 93

习题 96

3.4 函数图形的特性与描绘 98

一、曲线的凹凸与拐点 98

二、曲线的渐近线 101

三、函数图形的描绘 102

习题 106

4.1 不定积分的概念和性质 107

一、原函数与不定积分 107

第四章 不定积分 107

二、基本积分公式 108

三、不定积分的性质 110

习题 114

4.2 基本积分方法 115

一、换元积分法 115

二、分部积分法 118

习题 120

4.3 某些积分技巧 122

一、有理分式函数积分的部分分式法 122

二、三角函数有理式的积分 128

习题 132

第五章 定积分 134

5.1 定积分的概念与性质 134

一、定积分的定义 134

二、积分上限为变数的定积分 135

三、定积分的几何意义 136

四、定积分的基本性质 138

五、求和问题与定积分 141

习题 144

5.2 定积分的计算 144

一、定积分的换元法 145

二、定积分的分部积分法 146

三、定积分的近似计算 147

习题 151

5.3 定积分的应用 151

一、平面图形的面积 152

二、平行截面的面积为已知的立体的体积 154

三、弧长 156

四、平均值、功及其它 159

习题 163

5.4 广义积分 164

一、连续函数在无限区间上的积分 164

二、无界函数的积分 167

习题 168

第六章 级数 170

6.1 数列的极限 170

一、数列极限的概念 170

二、数列极限的性质 174

习题 179

6.2 数项级数 180

一、数项级数的收敛与发散 181

二、正项级数 184

三、任意项级数 187

习题 190

一、幂级数的特性 192

6.3 幂级数 192

二、函数的幂级数展开 196

习题 200

6.4 傅里叶级数 202

一、三角函数系的正交性 202

二、函数的傅里叶(Fourier)级数展开 203

习题 212

第七章 空间解析几何 214

7.1 空间直角坐标系 214

一、坐标的概念 214

二、两点间的距离 215

习题 216

7.2 向量代数 216

一、向量及其表示 216

二、向量的线性运算 217

三、向量的坐标 219

四、向量的内积与外积 221

习题 225

一、平面的方程 225

7.3 平面与直线 226

二、直线的方程 229

三、平面与直线间的相互关系 231

习题 232

7.4 曲面与曲线 233

一、曲面及其方程 233

二、二次曲面 236

三、曲线的方程 242

习题 244

一、多元函数的概念 246

8.1 多元函数的极限与连续 246

第八章 多元函数的微分学 246

二、邻域 247

三、多元函数的极限 248

四、二元函数的连续性 250

习题 251

8.2 偏导数与全微分 251

一、偏导数的概念 251

二、偏导数的几何意义 253

三、全微分 254

四、可微分与可偏导的关系 255

五、全微分的应用 257

六、高阶偏导数与高阶全微分 258

习题 259

一、复合函数的偏导数 261

8.3 复合函数的偏导数及隐函数的求导法 261

二、由F(x,y,z)=0所确定的隐函数的求导法则 265

三、由方程组所确定的隐函数的求导法则 267

习题 269

8.4 多元函数的极值 271

一、极值存在的必要条件及充分条件 271

二、最大值与最小值 275

三、条件极值与拉格朗日乘数法 276

四、玻尔兹曼(Boltzmann)分布律的推导 280

习题 282

8.5 偏导数的若干应用 282

一、空间曲线的切线与法平面 282

二、曲面的切平面与法线 284

三、方向导数 286

四、梯度 288

习题 289

第九章 二重积分与曲线积分 290

9.1 二重积分 290

一、二重积分的定义 290

二、二重积分的性质 293

三、二重积分的计算 294

四、利用极坐标计算二重积分 300

五、Γ函数的计算及其在化学、生物学中的应用 305

习题 306

9.2 曲线积分 308

一、第一类曲线积分的概念和计算 308

二、第二类曲线积分 310

三、第二类曲线积分与路径无关的条件 315

习题 322

10.1 基本概念 325

第十章 常微分方程 325

习题 328

10.2 一阶常微分方程 329

一、变量可分离方程 329

二、一阶齐次微分方程 333

三、一阶线性微方分程 335

四、恰当方程 337

五、欧拉方法 338

六、一阶微分方程在力学、生物学、化学中的应用举例 340

习题 345

10.3 二阶常微分方程 347

一、降阶法 347

二、二阶线性微分方程 349

三、二阶常系数线性齐次方程 351

四、二阶常系数非齐次线性方程 353

五、欧拉方程 360

习题 362

第十一章 概率论初步 364

11.1 随机事件及其概率 364

一、随机事件 364

二、事件间的关系及其运算 365

三、频率与概率 366

四、古典概型及其在统计物理中的应用 368

五、条件概率及其在生物学中的应用 370

六、全概率公式 371

七、贝叶斯(Bayes)公式 373

八、随机事件的独立性 374

九、独立试验序列 376

习题 377

一、随机变量的概念 378

11.2 随机变量及其分布 378

二、离散型随机变量及其概率分布 379

三、连续型随机变量 381

四、分布函数 382

五、两个重要的连续型分布 383

六、多维随机变量 386

习题 392

11.3 随机变量的数字特征 393

一、数学期望及其在生物学中的应用 393

二、方差与均方差 396

三、三个常用分布的数学期望与方差 398

四、二维随机变量的数字特征 400

习题 402

附表 404

习题答案 407