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第一章 近似数及其运算 1

1 误差 1

1.1 误差的来源 1

1.2 绝对误差和绝对误差限 3

1.3 相对误差和相对误差限 3

1.4 有效数字 4

2 近似数的算术运算及算法的数值稳定性 7

2.1 算术运算法则 7

2.2 算法的数值稳定性 8

习题一 14

第二章 一元函数方程的解法 16

1 初始近似根的确定 16

2 二分法 19

3 迭代法 24

4 迭代过程的加速 30

5 Newton法 33

6 近似Newton法 40

习题二 42

第三章 线性代数计算方法 46

1 Gauss消去法 47

1.1 顺序消去法 47

1.2 主元素消去法 53

2 Gauss-Jordan消去法 59

3 解实三对角线性方程组的追赶法 62

4 病态方程组 66

5 矩阵的三角分解 67

5.1 Gauss消去法与矩阵的初等变换 67

5.2 矩阵三角分解的唯一性 70

6 LU分解方法 72

6.1 Crout分解方法 73

6.2 Doolittle分解方法 77

7 Cholesky分解方法 78

7.1 正定矩阵的Cholesky分解 78

7.2.1 LLt分解方法 79

7.2 Cholesky分解方法 79

7.2.2 LDLt分解方法 81

8 迭代法 84

8.1 简单迭代法 84

8.2 Seidel迭代法 86

9 迭代法的收敛性 90

9.1 向量范数 90

9.2 向量列的收敛性 93

9.3 矩阵范数 94

9.4 矩阵列和矩阵幂级数的收敛性 98

9.5 简单迭代法的收敛性 100

9.6 Seidel迭代法的收敛性 104

9.7 方程组的变形 106

10 求矩阵的特征值与特征向量 107

10.1 乘幂法 108

10.2 QR方法 115

10.3 Jacobi方法 121

习题三 127

第四章 插值法 134

1 插值问题 134

2 插值多项式的存在唯一性 135

3 Lagrange插值多项式 137

3.1 Lagrange插值多项式 137

3.2 Lagrange插值多项式的余项 140

4 Newton均差插值多项式 142

4.1 均差 142

4.2 Newton均差插值多项式 145

4.3 均差的性质 148

5 有限差和等距基点插值多项式 149

5.1 有限差 150

5.2 有限差算子的性质 151

5.3 Newton前差和后差插值多项式 153

5.3.1 均差与前差、后差的关系 153

5.3.2 Newton前差和后差插值多项式 154

5.3.3 前差表和后差表 157

6.1 样条插值函数的定义及基本思想 159

6 样条插值 159

6.2 三次样条插值函数 160

7 数值微分 167

8 观测数据的最小二乘拟合 172

8.1 基本概念 172

8.2 观测数据的最小二乘拟合 174

习题四 180

第五章 数值积分 185

1 数值积分的基本思想及代数精确度 186

2 Newton-Cotes公式 189

2.1 一般的Newton-Cotes公式 189

2.2 梯形公式 190

2.3 Simpson公式 191

3 复合求积公式 193

3.1 复合梯形公式 194

3.2 复合Simpson公式 196

3.2.1 定步长复合Simpson公式 196

3.2.2 变步长复合Simpson公式 197

4.1 梯形值序列 200

4 Romberg积分方法 200

4.2 Simpson值序列 201

4.3 Cotes值序列 204

4.4 Romberg值序列 205

4.5 Romberg积分方法小结 206

习题五 208

第六章 常微分方程数值解法 211

1.1 数值方法建立的基本思想 212

1 数值方法建立的基本思想与途径 212

1.2 建立数值方法的途径 213

1.3 数值方法的阶 215

2 一阶常微分方程初值问题的数值解法 216

2.1 单步法 219

2.2 多步法 229

3 常微分方程组及高阶常微分方程数值解法 249

3.1 常微分方程组简介 249

3.2 单步法 252

3.3 多步法 257

4 边值问题的数值解法 260

4.1 差分方程组的建立 261

4.2 差分方程组的求解 264

4.3 非线性常微分方程边值问题的差分方法 265

习题六 267

第七章 最优化方法 271

1 极值理论 272

1.1 极值存在的充分与必要条件 272

1.2 凸集与凸函数以及凸函数的极值 273

2 常用的一维寻查方法 276

2.1 Newton法与二分法 278

2.2 Fibonacci法与0.618法 281

2.3 寻查区间的确定和初始步长的选取 292

3 最小二乘法 297

3.1 最小二乘法 297

3.2 改进的最小二乘法 303

4 最速下降法 305

4.1 最速下降方向和最速下降法 305

4.1.1 最速下降方向 305

4.1.2 最速下降法 307

4.2 算法的下降性和最速下降法的收敛速度 309

5 共轭斜量法 312

5.1 二阶收敛性和共轭方向 312

5.2 共轭斜量法 316

5.3 共轭斜量法小结及框图 321

6 变尺度方法 323

6.1 变尺度方法的基本思想 323

6.2 变尺度方法的近似矩阵H 325

6.3 变尺度方法的计算步骤及框图 328

7 单纯形方法 330

7.1 单纯形方法的基本思想 330

7.2 单纯形方法的计算过程 334

习题七 338