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第一篇 一元函数微积分 3

第一章 极限与连续 3

1 函数 3

函数概念 3

函数的图象 3

函数的性质 5

复合函数 8

反函数 9

初等函数 10

习题 13

2 数列的极限 15

几个例子 15

无穷小量 17

无穷小量的运算 18

数列的根限 21

收敛数列的性质 22

单调有界数列 26

Cauchy收敛准则 29

习题 30

3 函数的极限 31

自变量趋于有限值时函数的极限 31

极限的性质 34

单侧极限 38

自变量趋于无限时函数的极限 38

曲线的渐近线 42

习题 44

4 连续函数 45

函数在一点的连续性 46

函数的间断点 48

区间上的连续函数 49

闭区间上连续函数的性质 50

无穷小和无穷大的连续变量 52

习题 56

第二章 微分与导数 58

1 微分与导数的概念 58

一个实例 58

微分的概念 60

导数的概念 62

导数的意义 63

习题 67

微分的几何意义 67

2 求导运算 68

几个初等函数的导数 68

四则运算的求导法则 70

复合函数求导的链式法则 72

反函数的求导法则 75

基本初等函数的导数表 77

对数求导法 78

高阶导数 80

习题 83

3 微分运算 84

基本初等函数的微分公式 85

隐函数求导法 86

微分运算法则 86

一阶微分的形式不变性 86

由参数方程确定的函数求导法 89

微分的应用：近似计算 91

微分的应用：误差估计 93

习题 94

4 微分学中值定理 96

局部极值与Fermat定理 96

Rolle定理 97

微分学中值定理 99

Canchy中值定理 101

习题 102

5 L’Hospital法则 103

0/0型的L’Hospital法则 104

∞/∞型的极限 105

其他不定型的极限 106

习题 109

6 Taylor公式 110

带Peano余项的Taylor公式 110

带Lanrange余项的Taylor公式 112

Maclaurin公式 113

习题 116

7 函数的单调性和凸性 117

函数的单调性 117

函数的极值 120

最大值和最小值 122

函数的凸性 126

曲线的拐点 129

函数图象的描绘 130

习题 133

8 函数方程的近似求解 138

计算实习题 138

第三章 一元函数积分学 140

1 定积分的概念、性质和微积分基本定理 140

面积问题 141

路程问题 142

定积分的定义 143

定积分的性质 146

原函数 148

微积分基本定理 150

习题 151

2 不定积分的计算 153

不定积分 153

基本不定积分表 154

不定积分的线性性质 154

第一类换元积分法(凑微分法) 156

第二类换元积分法 159

分部积分法 163

有理函数的积分 167

某些无理函数的积分 171

三角函数有理式的积分 173

习题 176

分部积分法 179

3 定积分的计算 179

换元积分法 180

数值积分 185

习题 189

4 定积分的应用 190

微元法 190

面积问题(直角坐标下的区域) 192

面积问题(极坐标下的区域) 193

已知平行截面面积求体积 194

旋转体的体积 196

曲线的弧长 196

旋转曲面的面积 198

由分布密度求分布总量 200

引力 201

质量 201

液体对垂直壁的压力 203

动态过程的累积效应：功 203

习题 206

5 广义积分 208

无穷限的广义积分 208

比较判别法 211

无界函数的广义积分 212

Cauchy主值积分 216

Γ函数 218

B函数 220

习题 222

1 从多元一次方程组谈起 226

第二篇 线性代数与空间解析几何 226

第四章 矩阵和线性方程组 226

习题 229

2 向量与矩阵 230

向量 230

矩阵 230

矩阵的运算 234

分块矩阵及运算 241

习题 244

3 行列式 246

n阶行列式的定义 246

行列式的性质 249

习题 256

逆阵的定义 258

4 逆阵 258

用初等变换求逆阵 262

Cramer法则 266

习题 267

5 向量的线性关系 269

线性相关与线性无关 269

与线性关系有关的性质 272

习题 278

6 秩 279

向量组的秩 279

矩阵的秩 282

习题 287

齐次线性方程组 288

7 线性方程组 288

非齐次线性方程组 296

Gauss消去法 305

Jacobi迭代法 308

习题 311

第五章 线性空间和线性变换 313

1 线性空间 313

线性空间 313

线性空间的基与坐标 318

习题 325

2 线性变换及其矩阵表示 326

几个简单的几何变换 326

线性变换及其矩阵表示 329

习题 337

3 特征值问题 338

特征值和特征向量 338

特征值和特征向量的性质 341

利用特征值和特征向量化简矩阵 346

习题 351

4 内积和正交变换 351

Euclid空间 351

正交基 354

正交矩阵和正交变换 357

酉空间 360

习题 361

5 正交相似变换和酉相似换 363

正交相似变换和酉相似变换 363

正交(酉)相似对角阵 365

6 二次型及其标准形式 370

一个例子 370

习题 370

二次型与对称矩阵 374

化二次型为标准形的几种方法 377

习题 383

7 正定二次型 384

惯性定理 384

正定二次型和正定矩阵 386

二次曲线的分类 392

用Cholesky分解解线性方程组 393

习题 395

1 向量的外积与混合积 397

第六章 空间解析几何 397

习题 402

2 平面和直线 402

平面方程的几种形式 402

直线方程的几种形式 405

点到平面、直线的距离 410

交角 412

习题 415

3 曲面、曲线和二次曲面 417

曲面方程 417

空间曲线方程 421

二次曲面 423

习题 433