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第一篇 微积分学引论 1

第一章 函数 1

1.1 常量和变量 1

一、常量和变量 1

二、区间和邻域 2

习题1—1 4

1.2 函数的概念及函数的表示法 4

一、引例 4

二、函数的定义 6

三、函数的表示法 8

四、分段函数 9

习题1—2 11

一、函数的有界性 12

1.3 函数的几种简单性质 12

二、函数的单调性 13

三、函数的奇偶性 14

四、函数的周期性 15

习题1—3 16

1.4 反函数与复合函数 17

一、反函数的概念 17

二、反函数的图形 18

三、复合函数的概念 19

习题1—4 21

1.5 基本初等函数与初等函数 21

一、基本初等函数 21

二、初等函数 27

习题1—5 29

1.6 建立函数关系举例 30

习题1—6 31

第二章 函数的极限 33

2.1 数列的极限 33

一、引例 33

二、数列的定义及其性质 35

三、数列的极限 36

四、数列极限的存在准则 41

五、数列极限的四则运算法则 45

习题2—1 48

2.2 函数的极限 50

一、自变量x趋向无穷大时函数f（x）的极限 51

二、自变量x趋向于定数x0时函数的极限 53

三、函数的左、右极限 57

四、函数极限的性质 58

五、函数极限的四则运算法则 59

六、函数极限的存在准则及两个重要极限 61

习题2—2 64

2.3 无穷大与无穷小 65

一、无穷大 66

二、无穷小 67

三、无穷大与无穷小之间的关系 68

四、无穷小与函数极限之间的关系 68

五、无穷小的性质 69

六、无穷小的比较 70

习题2—3 73

第三章 函数的连续性 74

3.1 函数的连续性概念 74

一、函数连续性的定义 74

二、左连续和右连续的概念 76

三、函数的间断点及其分类 78

习题3—1 81

3.2 连续函数的运算与初等函数的连续性 82

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 82

二、反函数的连续性 83

三、复合函数的连续性 83

四、初等函数的连续性 84

习题3—2 85

3.3 闭区间上连续函数的性质 86

习题3—3 88

第二篇 一元函数微分学 89

第四章 函数的导数 89

4.1 导数的概念 89

一、引例 90

二、导数的定义 91

三、左导数与右导数 95

四、导数的几何意义 96

五、函数的可导性与连续性之间的关系 98

习题4—1 99

4.2 函数的求导法则及基本导数公式 101

一、函数的和、差、积、商的求导法则 101

二、反函数的求导法则 104

三、复合函数的求导法则 106

习题4—2 109

4.3 初等函数的导数及分段函数求导举例 110

习题4—3 114

4.4 高阶导数 115

习题4—4 118

4.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 119

一、隐函数及其求导方法 119

二、对数求导法 121

三、由参数方程所确定的函数及其求导方法 122

习题4—5 125

第五章 函数的微分 126

5.1 函数的微分概念 126

一、引例 126

二、微分的定义 127

三、微分与导数之间的关系 127

四、微分的几何意义 129

习题5—1 130

5.2 基本初等函数的微分公式及微分运算法则 130

一、基本初等函数的微分公式 130

二、函数的和、差、积、商的微分法则 131

三、复合函数的微分法则 132

习题5—2 133

一、计算函数的增量及函数值的近似值 134

5.3 微分在近似计算中的应用 134

二、误差估计 136

习题5—3 137

第六章 中值定理 139

6.1 中值定理 139

一、罗尔（Rolle）中值定理（简称罗尔定理） 139

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 141

三、柯西（Cauchy）中值定理 144

四、泰勒（Taylor）中值定理 145

*五、中值定理应用举例 150

习题6—1 152

6.2 罗必塔（L′Hospital）法则 153

一、0/0型未定式 153

二、∞/∞型未定式 155

三、其他类型的未定式 156

习题6—2 159

第七章 导数的应用 160

7.1 函数单调增减性的判别法 160

一、函数增减性的判别法 160

二、利用函数的增减性证明不等式 163

7.2 函数的极值及其求法 164

7.3 函数的最大值和最小值及其应用 167

习题7—1,7—2,7—3 170

7.4 曲线的凹凸性及其判别法 172

一、曲线的凹凸性 172

二、曲线的拐点 174

习题7—4 176

7.5 函数图形的描绘 176

一、曲线的渐近线 176

二、函数作图 177

习题7—5 180

7.6 曲线的曲率 181

一、弧长的微分 181

二、曲率及其计算公式 183

三、曲率圆、曲率半径 187

四、曲率中心 189

习题7—6 189

第三篇 一元函数积分学 191

第八章 不定积分 191

8.1 原函数与不定积分 191

一、原函数与不定积分的概念 191

二、不定积分的性质 195

三、基本积分公式 196

四、直接积分法 197

习题8—1 200

一、第一类换元法（凑微分法） 201

8.2 换元积分法 201

习题8—2(1) 207

二、第二类换元法 209

习题8—2(2) 216

8.3 分部积分法 216

习题8—3 220

8.4 有理函数及三角函数有理式的积分 221

一、有理函数的积分 221

二、三角函数有理式的积分 226

习题8—4 228

第九章 定积分 230

9.1 定积分的概念 230

一、引例 230

二、定积分的定义 233

三、定积分的几何意义 235

习题9—1 237

9.2 定积分的性质 238

习题9—2 242

9.3 牛顿（Newton）－莱布尼兹（Leibniz）公式 242

一、积分上限的函数及其导数 242

二、牛顿－莱布尼兹公式 245

习题9—3 246

9.4 定积分的换元法与分部积分法 247

一、定积分的换元法 247

习题9—4(1) 252

二、定积分的分部积分法 253

习题9—4(2) 255

9.5 定积分的近似计算 256

一、矩形法 256

二、梯形法 257

三、抛物线法 258

习题9—5 261

9.6 广义积分 261

一、无穷区间上的广义积分 261

二、无界函数的广义积分 263

习题9—6 266

第十章 定积分的应用 267

10.1 定积分的元素法 267

10.2 平面图形的面积 269

一、直角坐标系中平面图形面积的计算 269

二、极坐标系中平面图形面积的计算 273

习题10—2 275

10.3 立体的体积 276

一、旋转体的体积 276

二、平行截面面积为已知的立体体积 278

习题10—3 280

10.4 平面曲线的弧长 280

一、直角坐标系中平面曲线的弧长 280

二、极坐标系中平面曲线的弧长 282

习题10—4 283

10.5 定积分在物理上的应用 284

一、变力所作的功 284

二、液体的侧压力 286

习题10—5 287

第四篇 常微分方程 289

第十一章 一阶微分方程 289

11.1 微分方程的基本概念 289

一、引例 289

二、微分方程的基本概念 291

习题11—1 293

11.2 变量可分离的一阶微分方程及 294

齐次微分方程 294

一、变量可分离的一阶微分方程 295

二、齐次微分方程 297

习题11—2 300

11.3一阶线性微分方程 301

习题11—3 307

11.4 一阶微分方程的应用举例 307

习题11—4 312

第十二章 高阶微分方程 314

12.1 可降阶的高阶微分方程 314

一、y(n)=f(x)型 314

二、y″=f(x,y′)型 315

三、y″=f(y,y′)型 317

习题12—1 319

12.2 二阶线性微分方程 320

一、二阶线性微分方程的概念 320

二、二阶线性齐次微分方程解的性质及通解结构 323

三、二阶线性非齐次微分方程通解的结构 325

习题12—2 327

12.3 二阶线性常系统齐次微分方程的解法 328

习题12—3 333

12.4 二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 334

一、f(x)=Pm(x)eλx型 334

二、f(x)=eλx(Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx)型 339

习题12—4 342

12.5 二阶线性微分方程的应用举例 343

习题12—5 353

习题答案 355