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1函数与极限 1

1.1函数 1

1.1.1集合与映射 1

1.1.2变量与函数的概念 5

1.1.3函数的性质 8

1.1.4反函数 10

1.1.5函数的复合与复合函数 12

1.1.6函数的四则运算 13

1.1.7初等函数 15

1.1.8双曲函数与反双曲函数 16

习题1-1 18

1.2极限 20

1.2.1数列的极限及其性质 20

1.2.2函数的极限及其性质 26

1.2.3极限运算法则 32

1.2.4极限存在准则两个重要极限 35

1.2.5无穷小与无穷大 40

习题1-2 45

1.3函数的连续性和间断点 47

1.3.1函数的连续性 47

1.3.2函数的间断点及其分类 50

1.3.3连续函数的运算 51

1.3.4初等函数的连续性 54

1.3.5闭区间上连续函数的性质 55

1.3.6一致连续性的概念 57

习题1-3 59

本章小结 60

自我检测题1 61

复习题1 62

2导数与微分 63

2.1导数的概念 63

2.1.1引例 63

2.1.2导数的定义 65

2.1.3导数的几何意义 69

2.1.4函数的可导性与连续性的关系 69

习题2-1 70

2.2函数的求导方法 初等函数的导数 71

2.2.1几个基本初等函数的导数公式 71

2.2.2函数的和、差、积、商的求导法则 72

2.2.3反函数求导法则 74

2.2.4复合函数求导法则 76

2.2.5隐函数求导法 79

2.2.6取对数求导法 81

2.2.7由参数方程所确定的函数的求导法 82

2.2.8由极坐标方程所表示的函数的导数 84

2.2.9相关变化率 85

习题2-2 87

2.3高阶导数 88

2.3.1高阶导数的概念 88

2.3.2高阶导数的四则运算及莱布尼兹公式 92

习题2-3 93

2.4微分 94

2.4.1微分的概念与存在的条件 94

2.4.2微分的几何意义 96

2.4.3微分法则 97

2.4.4微分的应用举例 99

习题2-4 102

本章小结 103

自我检测题2 104

复习题2 105

3微分学基本定理 107

3.1微分学三个基本定理 107

3.1.1费马（Fermat）引理 107

3.1.2罗尔定理 108

3.1.3拉格朗日中值定理 110

3.1.4柯西定理 112

习题3-1 114

3.2泰勒公式 115

习题3-2 118

本章小结 118

自我检测题3 119

复习题3 120

4微分学应用 121

4.1未定式求极限 121

4.1.1 0/0型未定式 121

4.1.2∞/∞型未定式 123

4.1.3其他未定式 124

习题4-1 127

4.2函数的单调性和极值 128

4.2.1函数的单调性 128

4.2.2函数的极值 130

4.2.3最大值和最小值问题 133

习题4-2 135

4.3曲线的凹凸性和拐点 137

习题4-3 141

4.4函数图形的描绘 141

4.4.1曲线的渐近线 141

4.4.2函数图形的描绘 142

习题4-4 144

4.5曲率 145

4.5.1弧微分 145

4.5.2曲率的计算公式 146

4.5.3曲率圆 148

习题4-5 149

4.6方程的近似解 149

4.6.1二分法 150

4.6.2切线法 151

习题4-6 152

本章小结 152

自我检测题4 154

复习题4 155

5不定积分 156

5.1不定积分 156

5.1.1原函数 156

5.1.2不定积分的概念 157

5.1.3基本积分表 158

5.1.4基本积分运算法则 160

习题5-1 162

5.2换元积分法 162

5.2.1第一换元法（凑微分法） 163

5.2.2第二换元法 167

习题5-2 170

5.3分部积分法 171

习题5-3 176

5.4有理函数的不定积分 176

5.4.1有理函数的不定积分 177

5.4.2三角函数有理式的积分 180

5.4.3简单无理函数的积分 181

习题5-4. 183

5.5积分表的使用 183

本章小结 185

自我检测题5 187

复习题5 188

6定积分 190

6.1定积分的概念 190

6.1.1引例 190

6.1.2定积分的概念 192

习题6-1 194

6.2定积分的性质 194

习题6-2 198

6.3微积分基本定理 199

6.3.1积分上限的函数及其导数 200

6.3.2牛顿-莱布尼兹公式 201

习题6-3 204

6.4定积分的换元法与分部积分法 205

6.4.1定积分的换元法 205

6.4.2定积分的分部积分法 209

习题6-4 212

6.5反常积分 213

6.5.1无穷限的反常积分 213

6.5.2无界函数的反常积分 215

习题6-5 218

6.6反常积分的审敛法Г函数 218

6.6.1无穷限反常积分的审敛法 218

6.6.2无界函数的反常积分的审敛法 221

6.6.3 Г（Gamma）函数 223

习题6-6 225

本章小结 225

自我检测题6 227

复习题6 228

7定积分的应用 230

7.1定积分的元素法 230

7.2定积分在几何方面的应用 232

7.2.1平面图形的面积 232

7.2.2体积 235

7.2.3平面曲线的弧长 237

习题7-2 239

7.3定积分在物理及其他方面的应用 240

7.3.1变力沿直线所做的功 240

7.3.2液体的压力 242

7.3.3引力 242

7.3.4平均值和均方根 243

习题7-3 245

本章小结 246

自我检测题7 247

复习题7 247

8无穷级数 249

8.1常数项级数的概念与性质 250

8.1.1常数项级数的概念 几何级数 调和级数 250

8.1.2常数项级数的性质 253

8.1.3级数收敛的柯西（Cauchy）充要条件 256

习题8-1 257

8.2正项级数 258

8.2.1正项级数的基本性质 258

8.2.2正项级数的比较审敛法 260

8.2.3正项级数的比值审敛法 263

8.2.4正项级数的根值审敛法 266

习题8-2 269

8.3任意项级数 269

8.3.1交错级数与莱布尼兹审敛法 269

8.3.2任意项级数及绝对值审敛法 271

8.3.3绝对收敛级数的性质 273

习题8-3 276

8.4幂级数 276

8.4.1函数项级数 276

8.4.2幂级数与幂级数的收敛区间 277

8.4.3幂级数的代数性质与解析性质 283

习题8-4 286

8.5函数展开为幂级数及幂级数的若干应用 287

8.5.1泰勒级数 287

8.5.2函数展开成幂级数的方法 289

8.5.3幂级数的若干应用 294

8.5.4欧拉公式 296

习题8-5 297

8.6函数项级数的一致收敛性 298

8.6.1一致收敛的概念 298

8.6.2函数项级数一致收敛的审敛法 301

8.6.3一致收敛级数的解析性质 303

8.6.4幂级数的一致收敛性 306

习题8-6 309

8.7傅里叶级数 310

8.7.1三角函数系的正交性及三角级数 310

8.7.2傅里叶级数的收敛性定理 312

8.7.3周期函数展开成傅里叶级数 313

8.7.4奇延拓和偶延拓 317

8.7.5傅里叶级数的复数形式 320

习题8-7 322

本章小结 323

自我检测题8 325

复习题8 325

附录1二阶和三阶行列式简介 327

附录2常用曲线和曲面 330

附录3积分表 334

习题参考答案 343

参考文献 362