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第一章　函数、极限与连续 1

第一节　函数 1

一、函数 1

二、函数的基本特性 2

三、初等函数 4

四、建立函数关系举例 7

习题1-1 9

第二节　函数的极限 10

一、数列的极限 10

二、函数的极限 11

习题1-2 14

第三节　极限的性质与运算法则 15

一、极限的性质 15

二、极限的运算法则 15

三、两个重要极限 17

习题1-3 20

第四节　无穷小量与无穷大量 21

一、无穷小量与无穷大量 21

二、无穷小量的性质 23

三、无穷小量的比较 23

习题1-4 25

第五节　函数的连续性 25

一、函数连续性的概念 25

二、连续函数的运算 27

三、闭区间上连续函数的性质 28

四、函数的间断点 29

习题1-5 31

本章知识小结 31

自测题一 33

第二章　导数与微分 35

第一节　导数的概念 35

一、导数的概念 35

二、求导数举例 37

三、导数的意义 38

四、可导与连续的关系 39

习题2-1 40

第二节　导数的运算与导数公式 41

一、导数的运算 41

二、基本初等函数的导数公式 45

习题2-2 45

第三节　函数的微分 46

一、微分的概念 46

二、微分的基本公式及运算法则 48

习题2-3 49

第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 50

一、隐函数的求导法则 50

二、参数方程所确定的函数的求导法则 52

习题2-4 53

第五节　高阶导数 54

一、高阶导数的概念 54

二、显函数的高阶导数 55

三、隐函数及由参数方程所确定的函数的二阶导数 55

习题2-5 56

本章知识小结 57

自测题二 58

第三章 导数与微分的应用 60

第一节　微分中值定理与洛必达法则 60

一、微分中值定理 60

二、洛必达法则 63

习题3-1 67

第二节　函数的单调性、极值与最值 68

一、函数的单调性 68

二、函数的极值 70

三、函数的最大值与最小值 72

习题3-2 74

第三节　曲线的凹凸性与函数图形的描绘 75

一、曲线的凹凸性及其判别法 75

二、曲线的拐点及其求法 76

三、函数的渐近线 77

四、函数图形的描绘 77

习题3-3 79

第四节　微分的应用 79

一、微分在近似计算中的应用 79

二、微分在误差估计中的应用 80

习题3-4 81

第五节 曲线的弧微分与曲率 81

一、曲线的弧微分 81

二、曲率及其计算公式 82

三、曲率半径和曲率圆 84

习题3-5 85

本章知识小结 86

自测题三 87

第四章　不定积分 89

第一节　不定积分的概念与性质 89

一、原函数与不定积分 89

二、不定积分的性质 90

三、不定积分的几何意义 91

习题4-1 91

第二节 不定积分的基本公式与直接积分法 92

一、基本积分公式 92

二、不定积分的运算法则 93

习题4-2 95

第三节　换元积分法 95

一、第一换元法（凑微分法） 95

二、第二换元法 99

习题4-3 101

第四节　分部积分法 103

习题4-4 105

本章知识小结 105

自测题四 107

第五章　定积分 109

第一节　定积分的概念 109

一、定积分问题的引例 109

二、定积分的概念 110

三、定积分的几何意义 111

习题5-1 112

第二节　定积分的性质 112

习题5-2 115

第三节　微积分基本公式 116

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系 116

二、积分上限函数及其导数 116

三、牛顿-莱布尼兹公式 117

习题5-3 119

第四节　定积分的换元积分法和分部积分法 120

一、定积分的换元积分法 120

二、定积分的分部积分法 122

习题5-4 124

第五节　反常积分 125

一、无穷限的反常积分 125

二、无界函数的反常积分 127

习题5-5 129

第六节　定积分的应用 130

一、定积分的元素法 130

二、平面图形的面积 130

三、旋转体的体积 132

四、变力所做的功 133

习题5-6 134

本章知识小结 136

自测题五 137

第六章 常微分方程 139

第一节　微分方程的基本概念 139

一、微分方程 139

二、微分方程的解 139

习题6-1 140

第二节　一阶微分方程 140

一、可分离变量的微分方程 141

二、一阶线性微分方程 143

习题6-2 146

第三节 二阶线性常系数齐次微分方程 146

一、二阶线性微分方程解的结构 146

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 148

习题6-3 150

第四节　二阶线性常系数非齐次微分方程 151

一、f（x）＝Pn（x）型 151

二、f（x）＝Pn（e）αx型 152

三、f（x）＝αx（Acosβx+Bsinβx）型 153

习题6-4 155

第五节　微分方程应用举例 155

习题6-5 161

本章知识小结 161

自测题六 163

第七章　空间解析几何与向量代数 164

第一节　空间直角坐标系 164

一、空间直角坐标系 164

二、空间两点间的距离 165

习题7-1 165

第二节　向量及其线性运算 165

一、向量的概念 165

二、向量的加、减法 166

三、向量的数乘 166

习题7-2 167

第三节　向量的坐标 167

一、向量的坐标 167

二、向量的方向角和方向余弦 168

习题7-3 169

第四节　向量的数量积与向量积 170

一、向量的数量积 170

二、向量的向量积 171

习题7-4 173

第五节　平面及其方程 173

一、平面的点法式方程 173

二、平面的一般方程 174

三、两平面间的位置关系 175

四、点到平面的距离 176

习题7-5 176

第六节　空间直线及其方程 177

一、直线的点向式方程 177

二、直线的参数式方程 177

三、直线的一般式方程 178

四、直线间的位置关系 178

习题7-6 179

第七节　常见的空间曲面 180

一、球面 180

二、柱面 180

三、旋转曲面 181

习题7-7 182

本章知识小结 183

自测题七 185

第八章 多元函数微分学 187

第一节　多元函数、二元函数的极限与连续性 187

一、多元函数的概念 187

二、二元函数的极限与连续性 188

习题8-1 191

第二节　偏导数 191

一、偏导数的概念 191

二、高阶偏导数 193

习题8-2 194

第三节　全微分及其在近似计算中的应用 195

一、全微分的概念 195

二、全微分在近似计算中的应用 196

习题8-3 197

第四节　多元复合函数的偏导数 197

一、复合函数偏导数的链式法则 197

二、全微分形式的不变性 199

三、隐函数的微分法 200

习题8-4 202

第五节　多元函数的极值与最值 202

一、二元函数的极值 202

二、最大值与最小值 204

三、条件极值 204

习题8-5 206

本章知识小结 206

自测题八 208

第九章　二重积分与曲线积分 210

第一节　二重积分的概念与性质 210

一、二重积分的概念 210

二、二重积分的性质 212

习题9-1 213

第二节　二重积分的计算及应用 214

一、直角坐标系中二重积分的计算 214

二、极坐标系中二重积分的计算 218

三、二重积分的应用 221

习题9-2 224

第三节　对弧长的曲线积分 225

一、对弧长的曲线积分的概念 225

二、对弧长的曲线积分的计算 227

习题9-3 228

第四节　对坐标的曲线积分 228

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 228

二、对坐标的曲线积分的计算 230

三、两类曲线积分之间的关系 231

习题9-4 232

第五节　格林公式与平面上曲线积分与路径无关的条件 232

一、格林公式 232

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 235

习题9-5 237

本章知识小结 237

自测题九 238

第十章　无穷级数 240

第一节　数项级数的概念与性质 240

一、数项级数的基本概念 240

二、数项级数的基本性质 242

习题10-1 243

第二节　数项级数审敛法 244

一、正项级数审敛法 244

二、交错级数审敛法 246

三、绝对收敛与条件收敛 247

习题10-2 247

第三节　幂级数 248

一、函数项级数的概念 248

二、幂级数及其敛散性 248

三、幂级数的运算性质 250

习题10-3 252

第四节　函数的幂级数展开式 252

一、泰勒级数 252

二、函数展开成幂级数 253

三、幂级数在近似计算中的应用 255

习题10-4 257

第五节 傅里叶级数 258

一、谐波分析与三角级数 258

二、傅里叶级数 259

三、函数f（x）在［0，π］上展开为正弦级数与余弦级数 263

四、周期为2l的函数展开成傅里叶级数 264

习题10-5 266

本章知识小结 267

自测题十 268

第十一章　数学实验 270

实验1　Mathematica入门及使用 270

一、Mathematica的工作环境 270

二、Mathematica软件的基本操作 271

实验2　函数与图形 274

一、函数的定义 274

二、一元函数（二维）作图 275

三、二元函数（三维）作图 278

习题11-2 279

实验3　极限的运算 280

一、作图法求数列的极限 280

二、函数的极限 281

习题11-3 282

实验4　方程求根 282

习题11-4 284

实验5　导数的运算 284

一、函数的导数 284

二、函数的微分 285

习题11-5 286

实验6　导数的应用 286

一、讨论可导函数的单调性 286

二、求可导函数的极值点 287

习题11-6 288

实验7　积分的计算 288

一、一元函数的积分 288

二、二重积分 290

习题11-7 291

实验8　微分方程的求解 291

习题11-8 293

实验9　无穷级数的运算 293

一、求级数的和 293

二、幂级数的展开 293

三、判断级数的收敛性 293

习题11-9 294

实验10 矩阵计算及其应用 294

一、矩阵 294

二、求解线性方程组 296

习题11-10 297

部分习题答案 298

附录一 常见曲线的图形 316

附录二　积分表 318

附录三　Mathematica常用函数命令 326

参考文献 329