数学方法论PDF电子书下载

1 数学方法论概述 1

1.1 数学方法、数学思想的认识及其关系 1

1.1.1 数学方法的认识 1

1.1.2 数学思想的认识 4

1.1.3 数学思想与数学方法的关系 5

1.2 数学方法论发展简史 6

1.2.1 数学方法论的萌芽（17世纪中叶前） 6

1.2.2 数学方法论的形成（17世纪中叶至19世纪末） 7

1.2.3 数学方法论的建立和发展（20世纪初至今） 7

1.3 数学方法论与相关学科的关系 9

1.4 数学方法论研究的内容与意义 11

1.4.1 数学方法论研究的内容 11

1.4.2 数学方法论研究的意义 12

1.5 数学方法论的研究方法 16

2 数学发展的规律和趋势 17

2.1 数学发展的主要规律 17

2.1.1 数学发展的实践性 17

2.1.2 数学发展的曲折性 18

2.1.3 数学发展的相对独立性 25

2.1.4 数学论争的普遍性 27

2.2 19世纪以来数学发展的特点和趋势 29

2.2.1 数学发展的特点 29

2.2.2 近现代数学发展的趋势 36

2.3 数学发展的方法 38

2.3.1 问题产生法 38

2.3.2 扩张法 41

2.3.3 交叉互取法 42

2.3.4 分支分化法 42

2.3.5 发现法 43

3 数学思想方法的几次重大突破 44

3.1 从算术到代数 44

3.1.1 算术与代数的区别 44

3.1.2 代数体系结构的形成 48

3.2 从综合几何到几何代数化 48

3.2.1 几何代数化思想的背景 48

3.2.2 几何代数化的意义 54

3.3 从常量数学到变量数学 55

3.3.1 变量数学产生的历史背景 55

3.3.2 变量数学的形成及意义 55

3.4 从必然数学到或然数学 57

3.4.1 或然数学的现实基础 57

3.4.2 或然数学的产生和发展 58

3.5 从明晰数学到模糊数学 61

3.5.1 模糊数学产生的背景 61

3.5.2 模糊数学的思想方法 62

3.6 从手工证明到机器证明 63

3.6.1 机器证明的必要性和可能性 64

3.6.2 机器证明的思想及发展 64

4 数学思想方法选讲 68

4.1 数学公理化方法 68

4.1.1 公理化方法的意义 68

4.1.2 公理化方法发展简史 68

4.1.3 公理化方法的应用举例 74

4.1.4 公理化方法的作用和局限性 76

4.2 数学中的化归思想 77

4.2.1 化归思想方法的意义 77

4.2.2 化归思想方法 79

4.2.3 化归的基本原则 79

4.2.4 化归的基本策略 86

4.2.5 化归方法的分类 94

4.2.6 中学数学教材中的化归思想剖析 95

4.3 数学中的关系-映射-反演原则 96

4.3.1 关系-映射-反演原则的意义 96

4.3.2 RMI原则在数学中的应用 99

4.4 数学模型化方法 109

4.4.1 数学模型的意义 111

4.4.2 数学模型的分类 111

4.4.3 数学模型化方法应用举例 113

4.5 数形结合思想方法 117

4.5.1 数形结合思想的重要性 117

4.5.2 数形结合的历史渊源 118

4.5.3 数形结合思想应用举例 121

4.6 分类讨论思想 130

4.6.1 分类讨论思想的应用举例 131

4.6.2 简化回避分类讨论的技巧 140

4.7 合情推理思想 141

4.7.1 演绎推理和合情推理 141

4.7.2 合情推理的主要形式 141

5 数学悖论与数学发明创造 155

5.1 数学悖论 155

5.1.1 悖论的意义 155

5.1.2 常见的悖论 156

5.1.3 悖论的成因及其解决方案 160

5.2 悖论与三次数学危机 162

5.2.1 数学史上的三次数学危机 163

5.2.2 研究悖论的重要意义 164

5.3 数学发明创造的心智过程 164

5.3.1 数学发明创造的含义 164

5.3.2 数学发明创造的心智过程 165

5.3.3 数学中的灵感思维 166

5.3.4 数学发明创造与数学美 169

5.4 数学美及其审美能力的培养 170

5.4.1 数学与美学 170

5.4.2 数学美的体现形式 171

5.4.3 数学教学中审美能力的培养 175

6 数学思想方法教学研究 178

6.1 数学思想方法教学的重要性 178

6.2 数学思想方法的教学策略及案例分析 185

6.2.1 数学思想方法的教学策略 185

6.2.2 课堂教学设计案例 193

参考文献 199