2009考研数学标准全书 经济类PDF电子书下载

第一章 函数 极限 连续 1

1 函数 1

Ⅰ 考点精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 4

Ⅱ 例题精讲 4

一、求分段函数的复合函数 4

二、由函数的奇、偶性与周期性构造函数 6

三、求反函数的表达式 7

四、关于函数有界（无界）的讨论 7

2 极限 9

Ⅰ 考点精讲 9

一、定义 9

二、重要性质、定理、公式 10

三、计算极限的一些有关方法 11

Ⅱ 例题精讲 14

一、求函数的极限 14

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 19

三、含有|x|，e 1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 21

四、无穷小的比较 22

五、求以极限定义的函数的表达式 23

六、极限运算定理的正确运用 24

3 函数的连续与间断 27

Ⅰ 考点精讲 27

一、定义 27

二、重要性质、定理、公式 28

Ⅱ 例题精讲 28

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断 28

二、在连续条件下求参数 30

三、连续函数的零点问题 31

模考题训练 32

模考题训练答案与提示 34

第二章 一元函数微分学 37

1 导数与微分，导数的计算 37

Ⅰ 考点精讲 37

一、定义 37

二、重要性质、定理、公式 38

Ⅱ 例题精讲 41

一、按定义求一点处的导数 41

二、已知f（x）在某点x＝x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x＝x0处的导数 42

三、绝对值函数的导数 46

四、由极限式表示的函数的可导性 47

五、导数与微分、增量的关系 48

六、求导数的计算题 48

2 导数的应用 50

Ⅰ 考点精讲 50

一、定义 50

二、重要性质、定理、公式与方法 51

Ⅱ 例题精讲 53

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 53

二、渐近线 56

三、最大值、最小值问题 57

3 中值定理、不等式与零点问题 58

Ⅰ 考点精讲 58

一、重要定理 58

二、重要方法 59

Ⅱ 例题精讲 61

一、不等式的证明 61

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 64

三、复合函数Ψ（x，f（x），f′（x））的零点 67

四、复合函数Ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点 68

五、“双中值”问题 68

六、零点的个数问题 69

七、证明存在某ξ满足某不等式 70

八、limf′（x）与f′（x0）的关系 71

九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 72

模考题训练 73

模考题训练答案与提示 76

第三章 一元函数积分学 79

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 79

Ⅰ 考点精讲 79

一、定义 79

二、重要性质、定理、公式 80

Ⅱ 例题精讲 82

一、分段函数的不定积分与定积分 82

二、定积分与原函数的存在性 85

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 85

2 不定积分与定积分的计算 88

Ⅰ 考点精讲 8

一、基本积分公式 88

二、基本积分方法 89

Ⅱ 例题精讲 91

一、简单有理分式的积分 91

二、三角函数的有理分式的积分 93

三、简单无理式的积分 93

四、两种不同类型的函数相乘的积分 95

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 97

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 98

七、含参变量带绝对值号的定积分 100

3 反常积分及其计算 101

Ⅰ 考点精讲 101

一、定义 101

二、重要性质、定理、公式 102

Ⅱ 例题精讲 103

一、反常积分的计算 103

二、关于奇、偶函数的反常积分 105

三、关于反常积分敛散性的判定 106

4 一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用 108

Ⅰ 考点精讲 108

一、定义 108

二、重要性质、定理、公式与方法 109

Ⅱ 例题精讲 111

一、几何应用 111

二、经济上的应用 113

5 定积分的证明题 117

Ⅰ 考点精讲 117

Ⅱ 例题精讲 117

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等 117

二、由积分定义的函数求极限 119

三、积分不等式的证明 121

四、零点问题 124

模考题训练 126

模考题训练答案与提示 130

第四章 多元函数微积分学 133

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 133

Ⅰ 考点精讲 133

一、定义 133

二、重要性质、定理、公式 136

Ⅱ 例题精讲 137

一、讨论二重极限 137

二、讨论偏导数存在性，函数的连续性 138

三、讨论函数的可微性 139

四、求初等函数的偏导数 140

五、抽象函数时的复合函数求偏导数（重点） 140

六、求隐函数的偏导数 143

七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数 145

2 极值与最值 146

Ⅰ 考点精讲 146

一、定义 146

二、重要性质、定理、公式 146

Ⅱ 例题精讲 148

一、关于抽象函数的极值问题 148

二、极值与最值的计算题 149

三、最值的应用问题 150

3 二重积分 151

Ⅰ 考点精讲 151

一、定义 151

二、重要性质、定理、公式 151

Ⅱ 例题精讲 152

一、二重积分在直角坐标中的计算 152

二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容） 153

三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化 155

四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点） 156

五、关于轮换对称的二重积分 158

六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算 159

七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明） 162

模考题训练 164

模考题训练答案与提示 167

第五章 无穷级数 169

1 数项级数 169

Ⅰ 考点精讲 169

一、定义 169

二、重要性质、定理、公式 170

Ⅱ 例题精讲 173

一、正项级数敛散性的判别 173

二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛 177

三、敛散性判别法的选择题 179

2 幂级数 183

Ⅰ 考点精讲 183

一、定义 183

二、重要性质、定理、公式 184

Ⅱ 例题精讲 188

一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题 188

二、函数展开成幂级数 191

三、简单幂级数？an xn0求和 194

四、幂级数与微分方程有关的题 196

五、利用幂级数求某些数项级数的和 198

六、幂级数在经济上的应用 199

模考题训练 201

模考题训练答案与提示 204

第六章 微分方程，差分及一阶差分方程 207

1 微分方程的概念，三种一阶方程的解法 207

Ⅰ 考点精讲 207

一、定义 207

二、三种特殊类型的一阶微分方程及其解法 208

Ⅱ 例题精讲 209

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题） 209

二、积分方程化为微分方程求解 211

三、偏微分方程化为常微分方程求解 214

四、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 215

2 二阶线性微分方程 216

Ⅰ 考点精讲 216

一、定义 216

二、重要性质、定理、公式 216

Ⅱ 例题精讲 217

一、识别类型，对号入座，按类型求解 217

二、自由项含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 220

三、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 220

四、已知方程的解求方程 221

五、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 222

3 微分方程的应用 223

Ⅰ 考点精讲 223

一、几何问题 223

二、微元法建立微分方程 225

4 差分及一阶差分方程 225

Ⅰ 考点精讲 225

一、定义 225

二、重要性质、定理、公式 226

Ⅱ 例题精讲 227

一、差分的计算 227

二、求一阶差分方程的解 228

三、差分方程在经济上的应用 229

模考题训练 230

模考题训练答案与提示 232

第一章 行列式 233

1 n阶行列式的定义 233

Ⅰ 考点精讲 233

一、定义 233

Ⅱ 例题精讲 234

2 行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算 236

Ⅰ 考点精讲 236

一、定义 236

二、重要定理 237

三、行列式的性质 237

四、本章与后续章节有关的重要公式与结论 238

Ⅱ 例题精讲 238

一、低阶行列式的计算 238

二、行列式计算技巧介绍 241

三、行列式表示的函数、方程 247

四、关于余子式和代数余子式 250

五、抽象矩阵的行列式 252

六、行列式的证明题 253

3 克莱姆法则 254

Ⅰ 考点精讲 254

例题精讲 255

模考题训练 257

模考题训练答案与提示 259

第二章 矩阵 261

1 矩阵的概念及基本运算 261

Ⅰ 考点精讲 261

一、定义 261

二、矩阵的运算规则 262

三、特殊矩阵 263

Ⅱ 例题精讲 263

一、方阵的幂 263

二、矩阵乘法的可交换性 268

三、对称阵和反对称阵 270

2 矩阵的逆 271

Ⅰ 考点精讲 271

一、定义 271

二、重要定理 272

三、运算性质 272

四、求逆矩阵的方法 272

Ⅱ 例题精讲 273

一、证明A可逆及求A-1的方法 273

二、伴随矩阵 277

三、矩阵方程 280

3 初等变换与初等矩阵 282

Ⅰ 考点精讲 282

一、定义 282

二、初等矩阵与初等变换的性质 283

Ⅱ 例题精讲 284

一、初等变换、初等矩阵 284

二、矩阵的秩和等价矩阵 286

4 分块矩阵 288

Ⅰ 考点精讲 288

一、定义 288

二、分块矩阵的运算 289

Ⅱ 例题精讲 290

一、分块矩阵的乘积 290

二、分块矩阵的逆 292

三、分块矩阵的行列式 294

模考题训练 294

模考题训练答案与提示 296

第三章 向量 299

1 向量组的线性相关性 299

Ⅰ 考点精讲 299

一、定义 299

二、重要定理 300

三、向量的基本运算 301

Ⅱ 例题精讲 301

一、线性相关性的判别 301

二、向量的线性表示 304

三、向量组线性无关的证明 306

2 秩 309

Ⅰ 考点精讲 309

一、定义 309

二、重要定理 309

三、有关秩的等式和不等式 310

Ⅱ 例题精讲 311

3 向量的内容与向量组的正交规范化方法 316

Ⅰ 考点精讲 316

一、定义 316

二、运算性质 316

三、施密特（Schmidt）标准正交化方法 317

Ⅱ 例题精讲 317

模考题训练 319

模考题训练答案与提示 321

第四章 线性方程组 323

1 齐次线性方程组 323

Ⅰ 考点精讲 323

一、定义 323

二、重要定理 324

三、基础解系和通解的求法 324

Ⅱ 例题精讲 325

一、线性方程组的求解 325

二、方程组解向量的判别，解的性质 329

三、基础解系 330

四、AX＝0的系数行向量和解向量的关系，由AX＝0的基础解系反求A 332

2 非齐次线性方程组 335

Ⅰ 考点精讲 335

一、定义 335

二、重要定理 336

三、非齐次线性方程组AX＝b通解的求法 336

Ⅱ 例题精讲 337

一、非齐次线性方程组的求解 337

二、非齐次线性方程组解的判别 339

三、非齐次线性方程组有解的条件 340

四、AX＝b的通解结构 341

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 343

六、两个方程组的公共解 344

七、同解方程组 346

模考题训练 349

模考题训练答案与提示 351

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 353

1 特征值、特征向量 353

Ⅰ 考点精讲 353

一、定义 353

二、特征值的性质 353

三、求特征值、特征向量的方法 354

Ⅱ 例题精讲 354

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 362

Ⅰ 考点精讲 362

一、定义 362

二、重要定理 362

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 363

Ⅱ 例题精讲 363

3 实对称矩阵的相似对角化 370

Ⅰ 考点精讲 370

一、定义 370

二、重要定理 370

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 370

Ⅱ 例题精讲 371

模考题训练 380

模考题训练答案与提示 382

第六章 二次型 385

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 385

Ⅰ 考点精讲 385

一、定义 385

二、二次型的矩阵表示 386

Ⅱ 例题精讲 387

2 化二次型为标准形、规范形、合同二次型 389

Ⅰ 考点精讲 389

一、定义 389

二、重要定理 389

三、二次型化标准形、规范形的方法 390

Ⅱ 例题精讲 390

3 正定二次型、正定矩阵 401

Ⅰ 考点精讲 401

一、定义 401

二、重要定理 402

Ⅱ 例题精讲 402

模考题训练 411

模考题训练答案与提示 413

第一章 随机事件和概率 415

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 415

Ⅰ 考点精讲 415

一、定义 415

二、事件间运算规律 417

Ⅱ 例题精讲 418

2 概率、条件概率、独立性和五大公式 419

Ⅰ 考点精讲 419

一、定义 419

二、重要性质、定理、公式 420

Ⅱ 例题精讲 422

3 古典型概率与伯努利概率 426

Ⅰ 考点精讲 426

一、定义 426

二、古典型概率与伯努利概率计算 426

Ⅱ 例题精讲 427

模考题训练 429

模考题训练答案与提示 431

第二章 随机变量及其概率分布 433

1 随机变量及其分布函数 433

Ⅰ 考点精讲 433

一、定义 433

二、分布函数性质 433

Ⅱ 例题精讲 434

2 离散型随机变量和连续型随机变量 435

Ⅰ 考点精讲 435

一、定义 435

二、分布律和概率密度的性质 435

Ⅱ 例题精讲 435

3 常用分布 438

Ⅰ 考点精讲 438

一、定义 438

二、重要性质 440

Ⅱ 例题精讲 441

4 随机变量函数的分布 443

Ⅰ 考点精讲 443

一、离散型随机变量的函数分布 443

二、连续型随机变量的函数分布 443

Ⅱ 例题精讲 444

模考题训练 445

模考题训练答案与提示 447

第三章 多维随机变量及其分布 449

1 二维随机变量及其分布 449

Ⅰ 考点精讲 449

一、定义 449

二、重要性质 453

Ⅱ 例题精讲 454

2 随机变量的独立性 456

Ⅰ 考点精讲 456

一、定义（随机变量的独立性） 456

二、充要条件 457

Ⅱ 例题精讲 459

3 二维均匀分布和二维正态分布 461

Ⅰ 考点精讲 461

一、定义 461

二、重要性质 463

Ⅱ 例题精讲 463

4 两个随机变量函数的分布 465

Ⅰ 考点精讲 465

一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似 465

二、二维连续型随机变量函数Z＝g（X，Y）的分布的求法，可用公式 465

三、重要性质 465

Ⅱ 例题精讲 466

模考题训练 467

模考题训练答案与提示 469

第四章 随机变量的数字特征 471

1 随机变量的数学期望和方差 471

Ⅰ 考点精讲 471

一、定义 471

二、重要性质，公式 472

Ⅱ 例题精讲 477

2 矩、协方差和相关系数 480

Ⅰ 考点精讲 480

一、定义 480

二、重要性质、公式 481

Ⅱ 例题精讲 482

3 切比雪夫不等式 485

Ⅰ 考点精讲 485

Ⅱ 例题精讲 485

模考题训练 485

模考题训练答案与提示 488

第五章 大数定律和中心极限定理 489

Ⅰ 考点精讲 489

一、依概率收敛 489

二、切比雪夫大数定律 489

三、伯努利大数定律 489

四、辛钦大数定律 489

五、棣莫弗——拉普拉斯定理 490

六、列维——林德伯格定理 490

Ⅱ 例题精讲 490

模考题训练 492

模考题训练答案与提示 493

第六章 数理统计的基本概念 495

1 总体、样本、统计量和样本数字特征 495

Ⅰ 考点精讲 495

一、定义 495

二、样本数字特征性质 497

Ⅱ 例题精讲 497

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 498

Ⅰ 考点精讲 498

一、定义 498

二、重要性质 499

三、一个正态总体的抽样分布 501

四、两个正态总体的抽样分布 501

Ⅱ 例题精讲 502

模考题训练 504

模考题训练答案与提示 506

第七章 参数估计 509

1 点估计 509

Ⅰ 考点精讲 509

Ⅱ 例题精讲 510

2 估计量的求法和区间估计 512

Ⅰ 考点精讲 512

一、矩估计法 512

二、矩估计法步骤 512

三、最大似然估计法 512

四、似然方程 513

五、区间估计 513

Ⅱ 例题精讲 515

模考题训练 517

模考题训练答案与提示 520

第八章 假设检验 523

Ⅰ 考点精讲 523

一、实际推断原理 523

二、假设检验 523

三、两类错误 523

四、显著性检验 524

五、正态总体参数的假设检验 524

Ⅱ 例题精讲 525

模考题训练 528

模考题训练答案与提示 530