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第一篇 集合论 3

第1章 集合 3

1.1 集合的基本概念 3

1.2 子集与集合的相等 5

1.3 集合的运算及其性质 7

1.4 幂集 13

1.5 序偶与笛卡儿积 15

1.6 集合的覆盖与划分 17

1.7 基本计数原理 18

1.7.1 鸽巢原理（抽屉原理） 18

1.7.2 容斥原理 19

1.8 本章小结 23

习题1 23

第2章 二元关系 27

2.1 关系的定义及表示 27

2.1.1 关系的定义 27

2.1.2 关系的表示 29

2.2 关系的运算 31

2.2.1 关系的基本运算 31

2.2.2 逆关系 33

2.2.3 复合关系 34

2.3 关系的基本类型 37

2.4 关系的闭包 44

2.5 等价关系与集合的划分 49

2.6 相容关系与集合的覆盖 52

2.7 偏序关系 54

2.8 本章小结 59

习题2 60

第3章 函数 68

3.1 函数的基本性质 68

3.1.1 函数的基本概念 68

3.1.2 函数的基本性质 70

3.1.3 几个常用的函数 74

3.2 函数的复合、反函数 75

3.2.1 函数的复合 75

3.2.2 反函数 77

3.3 本章小结 80

习题3 80

第二篇 代数结构 85

第4章 代数系统 85

4.1 代数运算与代数系统 85

4.1.1 代数运算 85

4.1.2 代数系统 92

4.1.3 同态与同构 94

4.2 同余关系与商代数 96

4.3 半群和生成元 98

4.4 群 101

4.4.1 群及其性质 101

4.4.2 元素的周期、循环群 105

4.4.3 子群的定义与判定 108

4.4.4 群的同态 110

4.4.5 陪集、正规子群、基本同态 113

4.5 环和域 118

4.5.1 环 118

4.5.2 子环与理想 121

4.5.3 环同态与环同构 122

4.5.4 域 125

4.6 本章小结 126

习题4 127

第5章 格 133

5.1 格的定义 133

5.2 子格与格同态 140

5.3 特殊格 142

5.4 布尔代数 147

5.5 有限布尔代数的表示定理 150

5.6 本章小结 154

习题5 155

第三篇 图论 161

第6章 图 161

6.1 图的基本概念 161

6.1.1 基本术语 161

6.1.2 结点的度 163

6.1.3 子图与补图 166

6.1.4 图的同构 167

6.1.5 通路与回路 169

6.2 连通性 171

6.2.1 无向图的连通性 171

6.2.2 有向图的连通性 174

6.3 图的矩阵表示 177

6.3.1 无向图的关联矩阵和邻接矩阵 178

6.3.2 有向图的关联矩阵和邻接矩阵 179

6.4 最短路径问题 182

6.5 欧拉图与哈密尔顿图 186

6.5.1 欧拉图 186

6.5.2 哈密尔顿图 190

6.6 平面图 196

6.7 图的着色 201

6.8 本章小结 206

习题6 207

第7章 树 219

7.1 无向树 219

7.2 生成树 223

7.3 根树 227

7.4 赋权树 231

7.5 应用举例 234

7.5.1 二叉树 234

7.5.2 前缀码 235

7.5.3 波兰表示法 238

7.6 本章小结 240

习题7 241

第四篇 数理逻辑 247

第8章 命题逻辑 247

8.1 命题及其符号化 247

8.1.1 命题与命题变元 247

8.1.2 命题联结词 250

8.2 命题公式 256

8.2.1 命题公式及其真值 256

8.2.2 命题公式的等值式 261

8.2.3 命题公式的逻辑蕴含式 266

8.2.4 全功能联结词集合 268

8.3 范式及其应用 269

8.3.1 析取范式与合取范式 269

8.3.2 主范式 271

8.3.3 范式的应用 277

8.4 命题演算的推理理论 279

8.5 本章小结 284

习题8 285

第9章 谓词逻辑 290

9.1 谓词逻辑命题的符号化 290

9.1.1 个体与谓词 291

9.1.2 量词 292

9.2 谓词公式及其真值 295

9.2.1 谓词公式 295

9.2.2 谓词公式的真值 297

9.2.3 谓词公式的等值式 300

9.3 谓词公式的前束范式 305

9.4 重言蕴含式与推理规则 309

9.4.1 重言蕴含式 310

9.4.2 推理规则 311

9.5 本章小结 314

习题9 315

习题答案 320

附录 339

参考文献 359