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第七章 空间解析几何与向量代数 1

第一节 向量加法 向量与数的乘法 1

一、空间直角坐标系 1

二、向量 2

三、向量线性运算的几何表示 3

习题7-1 4

第二节 向量的坐标 5

一、轴上有向线段的值 5

二、空间向量的坐标表示 5

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 7

习题7-2 9

第三节 数量积 向量积 10

一、数量积 10

二、向量积 12

习题7-3 15

第四节 曲面及其方程 二次曲面 15

一、曲面及其方程 15

二、二次曲面 18

习题7-4 20

第五节 空间曲线及其方程 20

一、空间曲线的一般式方程 20

二、空间曲线的参数方程 22

三、空间曲线在坐标面上的投影 23

习题7-5 24

第六节 平面及其方程 25

一、平面的点法式方程 25

二、平面的一般方程 26

三、两平面的夹角 27

习题7-6 28

第七节 空间直线及其方程 28

一、空间直线的一般式方程 28

二、直线的点向式方程 29

习题7-7 32

演示与实验七 32

实验习题七 38

总习题7-A 38

总习题7-B 40

第八章 多元函数微分法及其应用 42

第一节 多元函数的极限与连续 42

一、区域 42

二、多元函数的概念 44

三、多元函数的极限 45

四、多元函数的连续性 47

习题8-1 48

第二节 偏导数与全微分 49

一、偏导数的定义及其计算 49

二、高阶偏导数 53

三、全微分 54

习题8-2 57

第三节 多元复合函数求导法则 58

一、依赖于一个自变量的多元复合函数 58

二、依赖于多个自变量的多元复合函数 60

三、复合函数的全微分 62

习题8-3 63

第四节 隐函数求导法则 64

一、一个方程的情形 64

二、方程组的情形 66

习题8-4 69

第五节 微分法在几何上的应用 70

一、空间曲线的切线与法平面 70

二、曲面的切平面与法线 73

习题8-5 76

第六节 方向导数与梯度 77

一、方向导数 77

二、梯度 80

习题8-6 83

第七节 多元函数极值及其应用 84

一、多元函数的无条件极值 84

二、多元函数的最值 85

三、多元函数的条件极值 拉格朗日乘数法 87

习题8-7 89

演示与实验八 89

实验习题八 101

总习题8-A 101

总习题8-B 103

第九章 重积分 106

第一节 二重积分的概念与性质 106

一、二重积分的概念 106

二、二重积分的性质 109

习题9-1 111

第二节 二重积分的计算 111

一、利用直角坐标计算二重积分 111

二、利用极坐标计算二重积分 118

三、广义二重积分及其计算 121

习题9-2 122

第三节 三重积分的概念及其计算 124

一、三重积分的概念 124

二、利用直角坐标计算三重积分 125

习题9-3 129

第四节 利用柱面坐标及球面坐标计算三重积分 130

一、利用柱面坐标计算三重积分 130

二、利用球面坐标计算三重积分 132

习题9-4 134

第五节 重积分的应用 135

一、几何应用 135

二、物理应用 137

习题9-5 142

演示与实验九 142

实验习题九 149

总习题9-A 150

总习题9-B 151

第十章 曲线积分与曲面积分 153

第一节 对弧长的曲线积分 153

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 153

二、对弧长的曲线积分的计算 155

三、对弧长的曲线积分的应用举例 157

习题10-1 158

第二节 对坐标的曲线积分 159

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 159

二、对坐标的曲线积分的计算 162

三、两类曲线积分之间的联系 165

习题10-2 166

第三节 格林公式 167

一、格林（Green）公式 167

二、格林公式的简单应用 170

三、平面上曲线积分与路径无关的条件 171

四、二元函数的全微分求积 173

习题10-3 177

第四节 对面积的曲面积分 177

一、对面积的曲面积分的概念与性质 177

二、对面积的曲面积分的计算 179

三、对面积的曲面积分的应用举例 181

习题10-4 181

第五节 对坐标的曲面积分 182

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 182

二、对坐标的曲面积分的计算 186

三、两类曲面积分之间的联系 188

习题10-5 190

第六节 高斯公式 通量与散度 190

一、高斯（Gauss）公式 190

二、通量与散度 193

习题10-6 194

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 195

一、斯托克斯（Stokes）公式 195

二、环流量与旋度 199

习题10-7 200

演示与实验十 201

实验习题十 207

总习题10-A 207

总习题10-B 209

第十一章 无穷级数 212

第一节 常数项级数及其基本性质 212

一、常数项级数的概念 212

二、数项级数的基本性质 213

习题11-1 215

第二节 数项级数的审敛法 216

一、正项级数及其审敛法 216

二、交错级数及其审敛法 221

三、任意项级数及其审敛法 222

习题11-2 224

第三节 幂级数 224

一、函数项级数的一般概念 224

二、幂函数及其收敛区间 225

三、幂级数的运算 229

四、函数展开成幂级数 230

习题11-3 235

第四节 傅立叶级数 236

一、三角函数系及其正交性 236

二、函数展开为傅立叶级数 237

三、函数展开成正弦级数或余弦级数 241

四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数 244

习题11-4 247

第五节 无穷级数的应用 247

一、无穷级数在近似计算中的应用 247

二、利用无穷级数可计算一些特殊函数的定积分 248

三、无穷级数在求解微分方程中的应用 249

四、利用无穷级数可以得到一个关于阶乘n！的估计式——司特林（Stirling）公式 252

习题11-5 254

演示与实验十一 254

实验习题十一 261

总习题11-A 261

总习题11-B 263

习题答案与提示 265

参考文献 279