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第7章 向量代数与空间解析几何 1

第1节 向量及其线性运算 1

一 空间直角坐标系 1

二 向量及其线性运算 2

三 向量的坐标表达式 5

习题7-1 7

第2节 向量的乘法运算 7

一 向量的数量积 7

二 向量的向量积 9

习题7-2 11

第3节 平面与直线 11

一 平面方程 11

二 空间直线方程 13

三 平面、直线间的夹角 15

四 点到平面的距离 17

习题7-3 17

第4节 曲线与曲面 18

一 几种常见曲面及其方程 18

二 二次曲面 20

三 曲线 22

拓展性知识 向量函数的微积分 24

习题7-4 27

数学实验 作二元函数的图像 28

阅读材料（七） 笛卡尔与解析几何 31

第8章 多元函数微分学 33

第1节 多元函数 33

一 区域的概念 33

二 多元函数的概念 34

习题8-1 35

第2节 二元函数的极限和连续 36

一 二元函数的极限 36

二 二元函数的连续性 37

习题8-2 38

第3节 偏导数 38

一 多元函数的偏导数 38

二 高阶偏导数 40

习题8-3 42

第4节 全微分 42

一 全微分的概念 42

二 全微分在近似计算中的应用 44

三 方向导数 45

拓展性知识 函数的梯度 46

习题8-4 47

第5节 复合函数的偏导数 47

一 多元复合函数的求导法则 47

二 隐函数的求导法 50

习题8-5 51

第6节 偏导数在几何上的应用 52

一 空间曲线的切线与法平面 52

二 曲面的切平面和法线 53

习题8-6 54

第7节 多元函数的极值 55

一 多元函数极值与最大值和最小值 55

二 条件极值 58

习题8-7 59

数学实验 求偏导数 60

阅读材料（八） 著名数学家拉格朗日 62

第9章 多元函数积分学 64

第1节 二重积分的概念 64

一 二重积分的定义 64

二 二重积分的性质 65

习题9-1 67

第2节 二重积分的计算 67

一 用直角坐标系计算二重积分 67

二 利用极坐标计算二重积分 71

习题9-2 73

第3节 二重积分的应用 74

一 曲顶柱体的体积 74

二 空间曲面的面积 75

三 平面薄板的重心 76

四 平面薄板的转动惯量 77

习题9-3 78

第4节 平面曲线积分 78

一 对弧长的曲线积分的概念和性质 78

二 对坐标的曲线积分 80

拓展性知识 格林（Green）公式及其应用 84

习题9-4 86

数学实验 求多元函数的积分 87

阅读材料（九）　欧拉 88

第10章 微分方程 90

第1节 微分方程的概念 90

习题10-1 93

第2节 可分离变量的微分方程 93

一 可分离变量的微分方程 93

二 可化为变量分离的微分方程 95

习题10-2 98

第3节 一阶线性微分方程 98

习题10-3 102

第4节 可降阶的微分方程 102

一 y〃＝f（x,y′）型 102

二　y〃＝f（y,y′）型 104

习题10-4 106

第5节 二阶常系数线性微分方程 106

一 线性微分方程解的结构 107

二 二阶常系数齐线性微分方程 108

三 二阶常系数非齐线性微分方程 110

习题10-5 112

数学实验 求解微分方程 113

阅读材料（十） 人口问题的数学建模 114

第11章 无穷级数 117

第1节 常数项级数 117

一 常数项级数的概念 117

二 常数项级数的基本性质 119

三 级数收敛的必要条件 119

习题11-1 120

第2节 常数项级数的审敛法 120

一 正项级数的审敛法 120

二 交错级数的审敛法 122

三 绝对收敛与条件收敛 123

习题11-2 123

第3节 幂级数 124

一 幂级数的概念 124

二 幂级数的运算性质 126

三 函数的幂级数展开式 128

拓展性知识 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 131

习题11-3 132

第4节 傅立叶级数 133

一 三角级数 133

二 三角函数系的正交性 133

三 周期为2π的函数展开成傅立叶级数 134

习题11-4 138

第5节 周期为2L的函数展开成傅立叶级数 138

习题11-5 141

第6节 傅立叶级数的复数形式 141

习题11-6 143

数学实验 求级数的和及函数的幂级数展开 144

阅读材料（十一） 关于欧拉数e 146

第12章 拉普拉斯变换 148

第1节 拉普拉斯变换的基本概念与性质 148

一 拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的基本概念 148

二 拉普拉斯变换的性质 151

习题12-1 154

第2节 拉普拉斯变换的逆变换 154

拓展性知识 卷积定理 156

习题12-2 157

第3节 拉普拉斯变换的应用举例 157

习题12-3 160

数学实验 求函数的拉普拉斯变换 161

阅读材料（十二） 拉普拉斯 163

习题答案或提示 165