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第八章 无穷级数 1

8.1数项级数的概念及性质 1

一、数项级数的概念 1

二、级数的性质 4

习题8.1 7

8.2正项级数的审敛法 8

习题8.2 13

8.3任意项级数的审敛法 14

习题8.3 16

8.4函数项级数 17

一、函数项级数的基本概念 17

二、幂级数 19

习题8.4 26

8.5将函数展开成幂级数 28

一、直接展开法——函数的泰勒（Taylor）级数 28

二、间接展开法 32

习题8.5 36

8.6幂级数在近似运算中的应用 37

一、函数值的近似计算 37

二、方程的幂级数解法 39

习题8.6 40

8.7傅立叶（Fourier）级数 41

一、三角函数系的正交性 43

二、傅立叶级数 44

三、周期函数展成傅立叶级数 45

四、任意区间上的傅立叶级数 49

五、傅立叶级数的复数形式 52

习题8.7 54

例题 55

附录5函数项级数的一致收敛性 58

第九章 矢量代数与空间解析几何 63

9.1空间直角坐标系 63

一、空间直角坐标系 63

二、坐标平移公式 64

三、两点间的距离 64

四、定比分点 64

习题9.1 66

9.2矢量概念及线性运算 66

一、矢量概念 66

二、矢量的线性运算 66

三、矢量的投影与矢量的坐标 69

习题9.2 72

9.3矢量间的乘积 73

一、两个矢量的数量积 73

二、两个矢量的矢量积 75

三、三个矢量的混合积 78

习题9.3 79

9.4平面和直线的方程 80

一、平面方程 80

二、直线方程 82

习题9.4 84

9.5点、直线和平面间的关系 85

一、两个平面的夹角及垂直、平行条件 85

二、两条直线的夹角及垂直、平行条件 87

三、直线与平面的夹角及垂直、平行条件 87

四、点到平面的距离 88

五、平面束 90

习题9.5 90

9.6曲面和曲线的方程 91

一、球面方程 91

二、柱面方程 92

三、旋转曲面 93

四、空间曲线方程 95

五、空间曲线在坐标面上的投影 96

习题9.6 97

9.7二次曲面，平行截面法 97

一、椭球面 97

二、单叶双曲面 98

三、双叶双曲面 99

四、椭圆抛物面 99

五、双曲抛物面 100

六、二次锥面 100

习题9.7 101

9.8例题 101

第十章 多元函数微分学 105

10.1多元函数的基本概念 105

一、多元函数的定义 105

二、二元函数的极限和连续性 106

习题10.1 110

10.2偏导数与高阶偏导数 110

一、偏导数 110

二、高阶偏导数 113

习题10.2 114

10.3全微分 115

习题10.3 119

10.4复合函数的微分法 120

一、复合函数的微分法 120

二、隐函数微分法 123

习题10.4 128

10.5二元函数的泰勒公式与极值 129

一、二元函数的泰勒公式 129

二、二元函数的极值 131

习题10.5 133

10.6条件极值——拉格朗日乘数法 134

习题10.6 137

10.7多元函数微分学的几何应用 137

一、空间曲线的切线及法平面 137

二、空间曲面的切平面及法线 140

习题10.7 141

10.8例题 142

习题10.8 148

第十一章 多元函数积分学 149

11.1黎曼积分 149

一、黎曼积分的概念 149

二、黎曼积分的性质 149

三、黎曼积分的几种特殊情况及其记号 150

习题11.1 152

11.2二重积分的计算 153

一、二重积分在直角坐标系下的计算公式 153

二、二重积分在极坐标系下的计算公式 157

习题11.2 160

11.3三重积分的计算 162

一、三重积分在直角坐标系下的计算公式 162

二、三重积分在柱坐标系下的计算公式 165

三、三重积分在球坐标系下的计算公式 167

习题11.3 169

11.4重积分的应用 170

一、求曲面面积 170

二、求非均匀物体的重心 172

三、求物体的转动惯量 174

习题11.4 175

11.5第一型曲线积分的计算 176

一、第一型曲线积分在直角坐标系下的计算公式 176

二、第一型曲线积分在极坐标系下的计算公式 179

习题11.5 179

11.6黎曼积分的推广——第二型曲线积分 180

一、第二型曲线积分的概念 180

二、第二型曲线积分的计算 181

三、化第二型曲线积分为第一型曲线积分 184

习题11.6 185

11.7格林公式 186

一、格林公式 186

二、平面第二型曲线积分与路线无关的充要条件 189

三、全微分准则，原函数 193

习题11.7 195

11.8第一型曲面积分的计算 197

习题11.8 199

11.9黎曼积分的推广——第二型曲面积分 199

一、第二型曲面积分—的概念 199

二、第二型曲面积分的计算 201

习题11.9 206

11.10高斯公式与斯托克斯公式 206

一、高斯公式 206

二、斯托克斯公式 209

习题11.10 212

11.11场论初步 213

一、场的概念 213

二、数量场的梯度 213

三、矢量场的散度 218

四、矢量场的旋度 220

习题11.11 224

11.12例题 225

习题11.12 237

习题答案 239