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1 函数 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念及表示法 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 实数集 4

习题1 6

1.2 映射 7

1.2.1 映射的概念 7

1.2.2 逆映射与复合映射 7

1.3 函数 8

1.3.1 函数概念及其表示法 8

1.3.2 复合函数与反函数 10

1.3.3 函数的几种常见性态 14

1.3.4 建立函数关系举例 15

习题2 17

本章小结 19

总习题 20

2 极限与连续 21

2.1 两个实例 21

2.2 数列的极限 22

2.2.1 数列 22

2.2.2 数列的极限 23

2.3 函数的极限 25

2.3.1 x→∞时函数 f(x)的极限 25

2.3.2 x→x0时函数 f(x)的极限 26

2.3.3 左极限与右极限 28

习题1 29

2.4 极限的性质 30

2.4.1 极限的性质 30

2.4.2 函数极限与数列极限的关系 31

2.5 无穷大量与无穷小量 32

2.5.1 无穷大量 32

2.5.2 无穷小量 32

2.6.1 极限的四则运算法则 34

2.6 极限的运算法则 34

2.6.2 复合函数的极限运算法则 37

习题2 38

2.7 极限存在准则与两个重要极限 40

2.7.1 夹逼准则 40

2.7.2 单调有界收敛准则 42

习题3 45

2.8 无穷小量的比较 46

2.8.1 无穷小量的阶 46

2.8.2 等价无穷小 46

习题4 48

2.9 函数的连续性 49

2.9.1 连续函数的概念 49

2.9.2 连续函数的运算 50

2.9.3 初等函数的连续性 51

2.9.4 函数的间断点 53

2.9.5 闭区间上连续函数的性质 54

习题5 56

本章小结 58

总习题 59

3 导数与微分 60

3.1 导数概念 60

3.1.1 导数的引进 60

3.1.2 导数的定义 61

3.1.3 函数可导与连续的关系 63

3.1.4 导数的几何意义 65

习题1 66

3.2 导数的基本公式与运算法则 68

3.2.1 几个基本初等函数的导数 68

3.2.2 导数的四则运算法则 69

3.2.3 反函数的导数与复合函数的导数 72

3.2.4 其他表示形式的函数的求导方法 77

3.2.5 导数公式 79

习题2 80

3.3 高阶导数 82

3.4 微分 86

3.4.1 微分的概念 86

3.4.2 微分的几何意义 87

3.4.3 微分的运算法则 89

3.4.4 微分形式的不变性 89

习题3 90

本章小结 92

总习题 93

4 中值定理与导数的应用 94

4.1 中值定理 94

4.1.1 罗尔(Rolle)定理 94

4.1.2 拉格朗日(Lagrange)定理 96

4.1.3 柯西(Cauchy)定理 98

习题1 99

4.2 未定式的极限 101

4.2.1 0/0型未定式 101

4.2.2 ∞/∞型未定式 103

4.2.3 其他类型的未定式 104

习题2 108

4.3 函数的单调性与极值 110

4.3.1 函数的单调性 110

4.3.2 函数的极值 113

4.3.3 最值问题 116

习题3 119

4.4.1 曲线的凸向与拐点 121

4.4 函数作图 121

4.4.2 曲线的渐近线 122

4.4.3 函数作图 124

习题4 126

4.5 导数在经济学中的应用 127

4.5.1 经济学的厂商理论中常见的函数 127

4.5.2 边际函数(函数变化率) 128

4.5.3 函数的弹性 131

习题5 134

本章小结 136

总习题 137

5 积分及其应用 139

5.1 定积分的概念与性质 139

5.1.1 定积分问题举例 139

5.1.2 定积分的定义 141

5.1.3 定积分的性质 144

5.2 微积分学基本定理 147

5.2.1 积分变上限函数及其性质 147

5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 149

习题1 151

5.3 不定积分 153

5.3.1 不定积分的概念与性质 153

5.3.2 基本积分公式及应用 154

5.3.3 换元积分法 157

5.3.4 分部积分法 166

5.3.5 特殊类型函数的积分举例 169

习题2 174

5.4 定积分的计算 176

习题3 182

5.5 定积分的应用 184

5.5.1 几何应用 184

5.5.2 经济学应用举例 190

习题4 194

5.6 定积分的近似计算 196

5.6.1 梯形法 196

5.6.2 抛物线法 197

5.7 反常积分与Г函数 199

5.7.1 无穷积分 199

5.7.2 瑕积分 201

5.7.3 Г函数 203

习题5 204

本章小结 206

总习题 209

习题答案 211