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第一篇 高等数学 1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法 1

内容概要与重难点提示 1

考核知识要点讲解 1

一、函数 1

二、极限的概念与性质 3

三、极限的存在与不存在问题 4

四、无穷小及其阶 6

五、函数的连续性及其判断 8

六、求极限的方法 9

常考题型归纳及解题方法与技巧 15

题型(一) 求反函数 15

题型(二) 求复合函数 16

题型(三) 利用函数概念求函数表达式 16

题型(四) 求0/0型或∞/∞型的极限 17

题型(五) 求0·∞或∞-∞型的极限 18

题型(六) 求指数型(1∞，00，∞0)的极限 19

题型(七) 求含变限积分的不定式的极限 19

题型(八) 由极限值确定函数式中的参数 20

题型(九) 利用夹逼法求极限 21

题型(十) 求n项和数列的极限 21

题型(十一) 求n项积数列的极限 22

题型(十二) 求递归数列的极限 23

题型(十三) 利用函数极限求数列极限 24

题型(十四) 无穷小的比较与无穷小的阶的确定 25

题型(十五) 讨论函数的连续性与间断点的类型 26

题型(十六) 极限的证明题 26

题型训练及参考答案 27

第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算 29

内容概要与重难点提示 29

考核知识要点讲解 29

一、一元函数的导数与微分 29

二、按定义求导适用的情形 33

三、基本初等函数导数表与导数四则运算法则 34

四、复合函数的微分法则 35

五、由复合函数求导法则导出的微分法则 35

六、分段函数求导法 37

七、高阶导数及n阶导数的求法 39

八、一元函数微分学的简单应用 41

常考题型归纳及解题方法与技巧 42

题型(一) 有关一元函数的导数与微分概念的命题 42

题型(二) 一元函数可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论 43

题型(三) 求各类一元函数的导数与微分 44

题型(四) 变限积分的求导 49

题型(五) 一元函数求导与求微分的综合题 50

题型(六) 求一元函数的n阶导数 51

题型(七) 一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨论 51

题型(八) 一元函数导数概念的应用 53

题型训练及参考答案 54

第三章 一元函数积分概念、计算及应用 56

内容概要与重难点提示 56

考核知识要点讲解 56

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 56

二、积分法则 62

三、各类函数的积分法 70

四、广义积分 73

五、积分学应用的基本方法——微元分析法 74

六、一元函数积分学的几何应用 75

七、一元函数积分学的物理应用 81

常考题型归纳及解题方法与技巧 82

题型(一) 有关原函数与定积分概念的命题 82

题型(二) 积分值的比较或判断积分值的符号 83

题型(三) 估计积分值 84

题型(四) 有关原函数的存在性问题 84

题型(五) 求分段函数的原函数 86

题型(六) 各类被积函数不定积分的计算 86

题型(七) 各类被积函数定积分的计算 88

题型(八) 利用若干积分技巧计算积分 90

题型(九) 求形如?的积分 92

题型(十) 由函数方程求积分 93

题型(十一) 广义积分的计算 94

题型(十二) 证明积分等式 95

题型(十三) 证明积分不等式 96

题型(十四) 关于变限积分的讨论 99

题型(十五) 一元函数积分学的几何应用 100

题型(十六) 一元函数积分学的物理应用 104

题型(十七) 综合题 106

题型训练及参考答案 107

第四章 微分中值定理及其应用 109

内容概要与重难点提示 109

考核知识要点讲解 109

一、连续函数的性质 109

二、微分中值定理及其应用 111

三、利用导数研究函数的变化 112

四、一元函数的最大值与最小值问题 117

五、微分中值定理的其他应用 118

常考题型归纳及解题方法与技巧 119

题型(一) 有关连续函数性质的命题 119

题型(二) 有关利用导数研究函数的变化的命题 120

题型(三) 一元函数的最值问题 125

题型(四) 与最值问题有关的综合题 127

题型(五) 讨论函数的零点 129

题型(六) 用微分中值定理证明函数或其导数存在某种特征点 137

题型(七) 用微分学的方法证明不等式 137

题型训练及参考答案 142

第五章 一元函数的泰勒公式及其应用 145

内容概要与重难点提示 145

考核知识要点讲解 145

一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式 145

二、泰勒公式的求法 146

三、一元函数泰勒公式的若干应用 148

常考题型归纳及解题方法与技巧 150

题型(一) 求泰勒公式 150

题型(二) 用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶 151

题型(三) 用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点 153

题型(四) 有关泰勒公式的中值θ的性质 154

题型训练及参考答案 155

第六章 微分方程 156

内容概要与重难点提示 156

考核知识要点讲解 156

一、基本概念 156

二、一阶微分方程 157

三、可降阶的高阶方程 161

四、线性微分方程解的性质与结构 161

五、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程 162

六、二阶常系数非齐次线性方程 163

七、可化为求解微分方程的两类问题 164

八、应用问题 166

常考题型归纳及解题方法与技巧 166

题型(一) 变量可分离的方程与齐次方程的求解 166

题型(二) 通过简单代换化为变量可分离的方程的求解(数二不要求) 167

题型(三) 一阶线性方程与可化为一阶线性方程的求解 167

题型(四) 全微分方程的求解(数二不要求) 168

题型(五) 可降阶的高阶微分方程的求解 169

题型(六) 二阶线性常系数方程的求解 170

题型(七) 特殊的变系数二阶线性方程的求解 170

题型(八) 已知特解求通解 171

题型(九) 含变限积分方程的求解 172

题型(十) 由自变量增量与因变量增量间的关系给出的一阶方程 172

题型(十一) 综合题与证明题 173

题型(十二) 有关微分方程应用题的求解 173

题型训练及参考答案 177

第七章 向量代数和空间解析几何 179

内容概要与重难点提示 179

考核知识要点讲解 179

一、空间直角坐标系 179

二、向量的概念 179

三、向量的运算 180

四、平面方程、直线方程 183

五、平面、直线之间相互关系 184

六、常用二次曲面的方程及其图形 186

七、空间曲线在坐标平面上的投影 187

常考题型归纳及解题方法与技巧 187

题型(一) 向量的运算 187

题型(二) 求平面方程 189

题型(三) 求空间的直线方程 190

题型(四) 求点、直线、平面间的关系 191

题型(五) 求投影方程 192

题型(六) 求曲面方程 193

题型训练及参考答案 194

第八章 多元函数微分学 195

内容概要与重难点提示 195

考核知识要点讲解 195

一、多元函数的概念、极限与连续性 195

二、多元函数的偏导数、方向导数与全微分 197

三、多元函数微分法则 201

四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法 203

五、复合函数求导法则的其他应用 205

六、方向导数的计算 206

七、多元函数极值充分判别法 206

八、多元函数的最大值与最小值问题 207

九、多元函数微分学的几何应用 210

常考题型归纳及解题方法与技巧 212

题型(一) 有关多元函数偏导数与全微分概念的问题 212

题型(二) 求二元(三元)各类函数的偏导数与全微分 213

题型(三) 变量替换下方程式的变形 217

题型(四) 求二元、三元函数的梯度与方向导数 218

题型(五) 多元函数的最值问题 219

题型(六) 多元函数微分学的几何应用 220

题型(七) 有关多元函数的综合题 222

题型训练及参考答案 223

第九章 多元函数积分的概念、计算及其应用 225

内容概要与重难点提示 225

考核知识要点讲解 225

一、多元函数积分的概念与性质 225

二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分 229

三、重积分的变量替换 235

四、如何应用多元函数积分的计算公式及简化计算 240

五、多元函数积分学的几何应用 248

六、多元函数积分学的物理应用 250

常考题型归纳及解题方法与技巧 253

题型(一) 积分值的比较与估计 253

题型(二) 有关多元函数积分的概念与性质的命题 254

题型(三) 对称性的应用 256

题型(四) 交换积分顺序与计算累次积分 260

题型(五) 两种坐标系中累次积分的转换 262

题型(六) 二重积分的计算 263

题型(七) 三重积分的计算 266

题型(八) 曲线积分的计算 270

题型(九) 曲面积分的计算 272

题型(十) 多元函数积分学的几何应用 273

题型(十一) 多元函数积分学的物理应用 276

题型(十二) 证明题与综合题 279

题型训练及参考答案 283

第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 285

内容概要与重难点提示 285

考核知识要点讲解 285

一、多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 285

二、向量场的通量与散度，环流量与旋度 287

三、格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算 288

四、用线积分表示平面区域的面积，用面积分表示空间区域的体积 292

五、平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题 292

常考题型归纳及解题方法与技巧 296

题型(一) 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式在计算多元函数积分中的应用 296

题型(二) 平面上第二类曲线积分与路径无关问题与原函数的求法 300

题型(三) 散度与旋度的计算 304

题型(四) 综合题 305

题型训练及参考答案 307

第十一章 无穷级数 309

内容概要与重难点提示 309

考核知识要点讲解 309

一、常数项级数的概念与基本性质 309

二、正项级数敛散性的判定 310

三、交错级数的敛散性判别法 312

四、绝对收敛与条件收敛 312

五、函数项级数的收敛域与和函数 313

六、幂级数的收敛域 313

七、幂级数的运算与和函数的性质 315

八、幂级数的求和与函数的幂级数展开 316

九、傅里叶级数 317

常考题型归纳及解题方法与技巧 320

题型(一) 常数项级数敛散性的判定 320

题型(二) 求一般函数项级数的收敛域 325

题型(三) 求幂级数的收敛域或收敛区间 326

题型(四) 幂级数的求和 327

题型(五) 求函数的幂级数展开式 328

题型(六) 常数项级数求和 330

题型(七) 有关傅里叶级数的命题 332

题型(八) 证明题与综合题 334

题型训练及参考答案 337

第二篇 线性代数 340

第一章 行列式 340

内容概要与重难点提示 340

考核知识要点讲解 340

一、行列式的概念、展开公式及其性质 340

二、有关行列式的几个重要公式 344

常考题型归纳及解题方法与技巧 344

题型(一) 有关行列式的概念与性质的命题 344

题型(二) 数字型行列式的计算 347

题型(三) 抽象行列式的计算 353

题型(四) 含参数行列式的计算 354

题型(五) 关于|A|=0的证明 355

题型训练及参考答案 356

第二章 矩阵及其运算 359

内容概要与重难点提示 359

考核知识要点讲解 359

一、矩阵的概念及几类特殊方阵 359

二、矩阵的运算 360

三、矩阵可逆的充分必要条件 361

四、初等变换 362

五、初等矩阵 362

六、矩阵的等价 362

七、矩阵方程 363

常考题型归纳及解题方法与技巧 363

题型(一) 有关矩阵的概念及运算 363

题型(二) 求方阵的幂 365

题型(三) 求与已知矩阵可交换的矩阵 367

题型(四) 有关初等矩阵的命题 369

题型(五) 关于伴随矩阵的命题 370

题型(六) 矩阵可逆的计算与证明 371

题型(七) 求解矩阵方程 374

题型训练及参考答案 377

第三章 n维向量与向量空间 380

内容概要与重难点提示 380

考核知识要点讲解 380

一、n维向量的概念与运算 380

二、线性组合与线性表出 380

三、线性相关与线性无关 381

四、线性相关性与线性表出的关系 382

五、向量组的秩与矩阵的秩的关系 383

六、矩阵秩的重要公式 383

七、向量空间、子空与基、维数、坐标 384

八、基变换与坐标变换 384

九、规范正交基与Schmidt正交化 385

常考题型归纳及解题方法与技巧 385

题型(一) 线性组合、线性相关的判别 385

题型(二) 线性相关与线性无关的证明 389

题型(三) 求秩与极大线性无关组 394

题型(四) 有关秩的证明 396

题型(五) 关于A=0的证明 397

题型(六) 有关向量空间的判定、维数、基与坐标的命题 398

题型(七) 求过渡矩阵及坐标变换 399

题型(八) 求规范正交基 400

题型(九) 有关秩与直线平面的综合题 401

题型训练及参考答案 403

第四章 线性方程组 406

内容概要与重难点提示 406

考核知识要点讲解 406

一、线性方程组的各种表达形式 406

二、基础解系的概念及其求法 406

三、齐次方程组有非零解的判定 407

四、非齐次线性方程组有解的判定 407

五、非齐次线性方程组解的结构 407

六、克莱姆(Cramer)法则 408

常考题型归纳及解题方法与技巧 408

题型(一) 线性方程组解的基本概念 408

题型(二) 线性方程组的求解 411

题型(三) 含有参数的方程组解的讨论 412

题型(四) 有关基础解系的证明 414

题型(五) 有关线性方程组的证明题 416

题型训练及参考答案 418

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量 421

内容概要与重难点提示 421

考核知识要点讲解 421

一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法 421

二、相似矩阵的概念与性质 423

三、矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤 423

常考题型归纳及解题方法与技巧 424

题型(一) 求矩阵的特征值和特征向量 424

题型(二) 用特征值和特征向量反求矩阵A 429

题型(三) 求矩阵A中的参数 431

题型(四) n阶矩阵A能否对角化的判定 432

题型(五) 求矩阵A的相似标准形 433

题型(六) 求相似时的矩阵P 435

题型(七) 相似对角化的应用 436

题型(八) 有关实对称矩阵的命题 437

题型(九) 有关特征值与特征向量的证明 440

题型训练及参考答案 441

第六章 二次型 444

内容概要与重难点提示 444

考核知识要点讲解 444

一、二次型的概念及其标准形 444

二、合同矩阵及正定矩阵 446

常考题型归纳及解题方法与技巧 447

题型(一) 有关二次型基本概念的命题 447

题型(二) 化二次型为标准形 449

题型(三) 求解二次型标准形的逆问题 452

题型(四) 判别二次型的正定性 453

题型(五) 有关正定性的证明 454

题型(六) 有关正定矩阵的综合题 455

题型训练及参考答案 456

第三篇 概率统计 458

第一章 随机事件与概率 458

内容概要与重难点提示 458

考核知识要点讲解 458

一、随机事件的关系与运算 458

二、随机事件的概率 460

三、条件概率与全概率公式 462

四、事件的独立性与伯努利公式 463

常考题型归纳及解题方法与技巧 464

题型(一) 随机事件间的关系与运算 464

题型(二) 概率的概念与性质 466

题型(三) 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率 468

题型(四) 事件的独立性与独立重复试验 472

题型训练及参考答案 473

第二章 随机变量的分布及其概率 476

内容概要与重难点提示 476

考核知识要点讲解 476

一、随机变量与分布函数 476

二、离散型随机变量与连续型随机变量 477

三、几个常见分布 478

四、随机变量函数的分布的求法 481

常考题型归纳及解题方法与技巧 482

题型(一) 确定随机变量概率分布中的未知参数 482

题型(二) 确定随机变量的概率分布 484

题型(三) 求随机变量函数的分布 487

题型(四) 综合应用题 491

题型训练及参考答案 492

第三章 二维随机变量的概率分布 495

内容概要与重难点提示 495

考核知识要点讲解 495

一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 495

二、二维离散型随机变量 496

三、二维连续型随机变量 497

四、两个常见的二维连续型随机变量的分布 499

五、二维随机变量的独立性 500

六、二维随机变量函数的分布的求法 501

常考题型归纳及解题方法与技巧 502

题型(一) 有关概率分布的计算 502

题型(二) 有关分布函数及密度函数的命题 505

题型(三) 求两个随机变量函数的分布 508

题型训练及参考答案 514

第四章 随机变量的数字特征 517

内容概要与重难点提示 517

考核知识要点讲解 517

一、一维随机变量的数字特征 517

二、二维随机变量的数字特征 518

常考题型归纳及解题方法与技巧 519

题型(一) 随机变量的期望与方差 519

题型(二) 两个随机变量的数字特征 522

题型(三) 综合应用题 529

题型训练及参考答案 531

第五章 大数定律和中心极限定理 533

内容概要与重难点提示 533

考核知识要点讲解 533

一、大数定律 533

二、中心极限定理 534

常考题型归纳及解题方法与技巧 535

题型(一) 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 535

题型(二) 有关中心极限定理的应用的命题 537

题型训练及参考答案 541

第六章 数理统计的基本概念 543

内容概要与重难点提示 543

考核知识要点讲解 543

一、总体、样本、样本的数字特征 543

二、统计量及抽样分布 544

常考题型归纳及解题方法与技巧 547

题型训练及参考答案 550

第七章 参数估计和假设检验 551

内容概要与重难点提示 551

考核知识要点讲解 551

一、统计估计 551

二、假设检验 554

常考题型归纳及解题方法与技巧 556

题型(一) 最大似然估计与矩估计 556

题型(二) 点估计的无偏性与有效性 558

题型(三) 正态总体期望与方差的区间估计 559

题型(四) 正态总体期望与方差的假设检验 561

题型训练及参考答案 563