考研数学常考题型解题方法技巧归纳 数学 3 2020版PDF电子书下载

第1篇 高等数学 2

1.1 函数 2

1.1.1 求几类函数的表达式 2

题型1.1.1.1 已知函数，求其反函数的表达式 2

题型1.1.1.2 求与复合函数有关的函数表达式 2

1.1.2 奇、偶函数的判别及其性质的应用 4

题型1.1.2.1 判别经四则运算后的函数的奇偶性 4

题型1.1.2.2 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性 4

题型1.1.2.3 判别复合函数的奇偶性 4

题型1.1.2.4 判别原函数F（x）=∫x 0 f（t）dt的奇偶性 5

题型1.1.2.5 判别函数（a kx 士1）/（a kx？1）的奇偶性（a＞0，a≠1，k≠0） 5

题型1.1.2.6 奇、偶函数的几个性质的应用 5

1.1.3 函数有界性的判定 6

题型1.1.3.1 判定在有限开区间内连续函数的有界性 6

题型1.1.3.2 判定在无穷区间内连续函数的有界性 7

题型1.1.3.3 判定分段连续函数的有界性 7

1.1.4 讨论函数的周期性 8

1.2 极限、连续 10

1.2.1 极限的概念与基本性质 10

题型1.2.1.1 正确理解极限定义中的“ε-N”“ε-δ”“ε-X”语言的含义 10

题型1.2.1.2 正确区别无穷大量与无界变量 10

题型1.2.1.3 正确运用极限的保序性、保号性 12

1.2.2 求未定式极限 13

题型1.2.2.1 求0/0型或∞/∞型极限 13

题型1.2.2.2 求0·∞型极限 17

题型1.2.2.3 求∞—∞型极限 18

题型1.2.2.4 求幂指函数型（0 0型、∞0型、1∞型）极限 18

1.2.3 求数列极限 22

题型1.2.3.1 求无穷多项和的极限 22

题型1.2.3.2 求由递推关系式给出的数列极限 27

题型1.2.3.3 求一般数列的极限 28

1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限 28

题型1.2.4.1 求需先考查左、右极限的函数极限 28

题型1.2.4.2 求含1/x的函数极限 31

题型1.2.4.3 求含根式差的函数极限 31

题型1.2.4.4 求含指数函数差的函数极限 32

题型1.2.4.5 求含幂指函数的函数极限 32

题型1.2.4.6 求含1nf（x）的函数极限，其中limf x→□ （x）=1 32

题型1.2.4.7 求含有界变量为因子的函数极限 33

题型1.2.4.8 求含参变量x的函数极限lim？ n→∞（x，n） 33

1.2.5 已知含未知函数的极限，求与该函数有关的极限 35

1.2.6 求极限式中的待定常数 37

题型1.2.6.1 求有理函数极限式中的待定常数 37

题型1.2.6.2 确定分式函数极限式中的待定常数 38

题型1.2.6.3 求∞士∞型的根式极限式中的待定常数 40

题型1.2.6.4 求含变限积分的极限式中的待定常数 40

1.2.7 比较和确定无穷小量的阶 41

题型1.2.7.1 比较无穷小量的阶 42

题型1.2.7.2 确定无穷小量为几阶无穷小量 43

题型1.2.7.3 利用无穷小量阶的比较求待定常数 44

1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型 44

题型1.2.8.1 判别初等函数的连续性 45

题型1.2.8.2 讨论分段函数的连续性 46

题型1.2.8.3 讨论含参变量的极限式所定义的函数的连续性 46

题型1.2.8.4 判别函数间断点的类型 47

1.2.9 连续函数性质的两点应用 48

题型1.2.9.1 利用连续函数性质证明中值等式命题 49

题型1.2.9.2 证明方程实根的存在性 50

1.2.10 极限在经济活动分析中的应用 51

题型1.2.10.1 计算连续复利 51

题型1.2.10.2 求解贴现问题 52

1.3 一元函数微分学 54

1.3.1 导数定义的三点应用 54

题型1.3.1.1 讨论函数在某点的可导性 54

题型1.3.1.2 利用导数定义求某些函数的极限 58

题型1.3.1.3 利用导数定义求函数表达式 59

1.3.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性 60

题型1.3.2.1 讨论分段函数的可导性 60

题型1.3.2.2 讨论分段函数的导函数的连续性 61

题型1.3.2.3 讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性 62

1.3.3 讨论含绝对值的函数的可导性 62

题型1.3.3.1 讨论绝对值函数｜f（x）｜的可导性 62

题型1.3.3.2 讨论f（x）=｜？（x）｜g（x）的可导性 63

1.3.4 求一元函数的导数和微分 64

题型1.3.4.1 求复合函数的一阶导数与二阶导数 64

题型1.3.4.2 求反函数的导数 65

题型1.3.4.3 求由一个方程所确定的隐函数的导数 66

题型1.3.4.4 求分段函数的一阶、二阶导数 67

题型1.3.4.5 求带绝对值的函数的导数 67

题型1.3.4.6 求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数 68

题型1.3.4.7 求由参数方程所确定的函数的导数 68

题型1.3.4.8 求某些简单函数的高阶导数 69

题型1.3.4.9 求一元函数的微分 71

1.3.5 利用函数的连续性、可导性确定其待定常数 73

题型1.3.5.1 利用函数的连续性确定其待定常数 73

题型1.3.5.2 根据函数的可导性确定待定常数 74

1.3.6 利用微分中值定理的条件及其结论解题 75

1.3.7 利用罗尔定理证明中值等式 76

题型1.3.7.1 证明存在ζ∈（a，b），使cf’（ζ）=bg’（ζ），其中c，b为常数 77

题型1.3.7.2 证明存在ζ∈（a，b），使f（ζ）g’（ζ）＋f’（ζ）g（ζ）=0 78

题型1.3.7.3 证明存在ζ∈（a，b），使f’（ζ）g（ζ）—f（ζ）g’（ζ）=0（g（ζ）≠0） 78

题型1.3.7.4 证明存在ζ∈（a，b），使f’（ζ）＋g’（ζ）f（ζ）=0 79

题型1.3.7.5 证明存在ζ∈（a，b），使f’（ζ）＋g’（ζ）[f（ζ）—bζ]=b 79

题型1.3.7.6 已知函数在多点处的取值情况，证明有关的中值等式 80

题型1.3.7.7 证明存在ζ∈（a，b），使nf（ζ）＋ζf’（ζ）=0（n为正整数） 81

题型1.3.7.8 利用定积分等式或变限定积分证明中值等式 81

题型1.3.7.9 证明存在ζ∈（a，b），使F（k）（ζ）=0（k≥2） 83

1.3.8 拉格朗日中值定理的几点应用 84

题型1.3.8.1 证明与函数差值有关的中值命题 84

题型1.3.8.2 证明函数与其导数的关系 86

题型1.3.8.3 证明含或可化为函数差值的不等式 87

题型1.3.8.4 求中值的（极限）位置 88

1.3.9 利用柯西定理证明中值等式 89

题型1.3.9.1 证明两函数差值之比的中值等式 89

题型1.3.9.2 证明两函数导数之比的中值等式 89

1.3.10 证明多个中值所满足的中值等式 90

1.3.11 利用导数讨论函数性态 93

题型1.3.11.1 证明函数在区间ζ上是一个常数 93

题型1.3.11.2 证明（判别）函数的单调性 93

题型1.3.11.3 利用极限式讨论函数是否取得极值 94

题型1.3.11.4 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 96

题型1.3.11.5 利用导数（值）的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 96

题型1.3.11.6 求函数的单调区间、极值、最值 97

题型1.3.11.7 求曲线凹凸区间与拐点 98

题型1.3.11.8 求曲线的渐近线 101

题型1.3.11.9 利用函数性态作函数图形 103

题型1.3.11.10 已知函数的图形，确定其函数或其导函数性质 104

题型1.3.11.11 利用导函数的图形，确定原来函数的性态 104

1.3.12 利用函数性态，讨论方程的根 105

题型1.3.12.1 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数 105

题型1.3.12.2 讨论含参数的方程实根的个数及其所在区间 106

1.3.13 利用导数的性质证明或判断不等式 106

题型1.3.13.1 已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞0 106

题型1.3.13.2 证明含常数加项的不等式 109

题型1.3.13.3 利用函数导数值的大小比较函数值的大小 110

题型1.3.13.4 证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式 111

1.3.14 一元函数微分学的几何应用 112

题型1.3.14.1 求平面曲线的切线方程和法线方程 112

题型1.3.14.2 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 113

题型1.3.14.3 求解与两曲线相切的有关问题 114

1.3.15 导数在经济活动分析中的应用 115

题型1.3.15.1 计算弹性 116

题型1.3.15.2 计算与边际成本或平均成本相关的问题 116

题型1.3.15.3 求解与边际和弹性有关的应用题 117

题型1.3.15.4 求解经济应用中一元函数的最值问题 119

1.4 一元函数积分学 121

1.4.1 原函数的判定及其求法 121

题型1.4.1.1 函数存在原函数的条件 121

题型1.4.1.2 原函数的判定 122

题型1.4.1.3 求分段函数的原函数 122

题型1.4.1.4 利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题 124

题型1.4.1.5 已知函数的原函数，求该函数或与该函数有关的不定积分 124

1.4.2 计算不定积分 125

题型1.4.2.1 计算∫f（x）g（x）dx 125

题型1.4.2.2 计算简单无理函数的不定积分 125

题型1.4.2.3 求∫1/（ax＋b）k f（1（ax＋b）k-1）dx，其中k≠1为正实数 128

题型1.4.2.4 求∫f（x）/g（x） dx 129

题型1.4.2.5 求被积函数的分母为相差常数的两函数乘积的积分 131

题型1.4.2.6 求被积函数的分子、分母为sinx，cosx的线性组合的不定积分 131

题型1.4.2.7 求被积函数含反三角函数为因子函数的积分 131

1.4.3 利用定积分性质计算定积分 132

题型1.4.3.1 利用其几何意义计算定积分 132

题型1.4.3.2 计算对称区间上的定积分 133

题型1.4.3.3 计算周期函数的定积分 134

题型1.4.3.4 利用定积分的常用计算公式求其值 135

题型1.4.3.5 计算被积函数含函数导数的积分 136

题型1.4.3.6 比较和估计定积分的大小 137

题型1.4.3.7 求解含积分值为常数的函数方程 138

题型1.4.3.8 计算几类需要分子区间积分的定积分 139

题型1.4.3.9 计算含参数的定积分 140

题型1.4.3.10 求需换元计算的定积分 141

题型1.4.3.11 求连续函数的定积分的极限 142

1.4.4 求解与变限积分有关的问题 143

题型1.4.4.1 求含变限积分的未定式极限 143

题型1.4.4.2 求变限积分的导数 145

题型1.4.4.3 求变限积分的定积分 147

题型1.4.4.4 计算分段函数的变限积分 147

题型1.4.4.5 讨论变限积分函数的性态 148

1.4.5 证明定积分等式 149

题型1.4.5.1 证明定积分的变换公式 149

题型1.4.5.2 证明定积分中值等式 151

1.4.6 定积分不等式的常用证法 152

1.4.7 计算反常积分 156

题型1.4.7.1 计算无穷区间上的反常积分 156

题型1.4.7.2 判别∫＋∞ a dx/x p与∫＋∞ a dx/x（1nx）p（a＞0）的敛散性 159

题型1.4.7.3 计算无界函数的反常积分 159

题型1.4.7.4 判别∫b a dx/（b-x）p与∫b a dx/（x-a）p的敛散性 161

题型1.4.7.5 判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值 161

1.4.8 定积分的应用 162

题型1.4.8.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 162

题型1.4.8.2 求旋转体体积 163

题型1.4.8.3 求解几何应用与最值问题相结合的应用题 166

题型1.4.8.4 已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线 168

题型1.4.8.5 求函数在区间上的平均值 168

题型1.4.8.6 由变化率求原经济函数或其变化值 168

题型1.4.8.7 由边际函数求（最优）总函数 169

1.5 多元函数微积分学 171

1.5.1 二（多）元函数微分学中的几个概念 171

题型1.5.1.1 判别二元函数的极限、连续、可偏导及可微之间的相互关系 172

题型1.5.1.2 用定义判别二元函数在某点是否可微 173

1.5.2 计算偏导数与全微分 174

题型1.5.2.1 计算显函数的偏导数 174

题型1.5.2.2 求带抽象函数记号的复合函数偏导数 175

题型1.5.2.3 计算由一个方程确定的隐函数的（偏）导数 178

题型1.5.2.4 求由方程组确定的隐函数的（偏）导数 179

题型1.5.2.5 变换含一阶、二阶偏导数的表达式 181

题型1.5.2.6 求二元函数的全微分 181

1.5.3 多元函数微分学的应用 182

题型1.5.3.1 求二元函数的极值和最值 182

题型1.5.3.2 求二（多）元函数的条件极值 185

1.5.4 用直角坐标系计算二重积分 187

题型1.5.4.1 根据积分区域选择积分次序计算二重积分 187

题型1.5.4.2 根据被积函数选择积分次序计算二重积分 188

题型1.5.4.3 证明二次积分等于单积分 191

题型1.5.4.4 利用对称性简化计算二重积分 191

题型1.5.4.5 分块计算二重积分 194

题型1.5.4.6 计算无界区域上较简单的二重积分 195

1.5.5 用极坐标系计算二重积分 198

题型1.5.5.1 计算圆域x2＋y2≤a2（a＞0）上的二重积分 198

题型1.5.5.2 计算圆域x2十y2≤2ax（a＞0）上的二重积分 199

题型1.5.5.3 计算圆域x2＋y2≤—2ax（a＞0）上的二重积分 199

题型1.5.5.4 计算圆域x2＋y2≤2by（b＞0）上的二重积分 200

题型1.5.5.5 计算圆域x2＋y2≤—2by（b＞0）上的二重积分 201

题型1.5.5.6 计算圆域x2＋y2≤2ax＋2by＋c上的二重积分 201

1.5.6 交换二次积分次序与转换二次积分 202

题型1.5.6.1 交换二（累）次积分的积分次序 202

题型1.5.6.2 转换二次积分 204

1.5.7 求含二重积分的极限 205

1.6 无穷级数 206

1.6.1 判别常数项级数的敛散性 206

题型1.6.1.1 判别正项级数的敛散性 206

题型1.6.1.2 判别交错级数的敛散性 210

题型1.6.1.3 判别任意项级数的敛散性 212

1.6.2 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 218

1.6.3 求级数的和函数 220

题型1.6.3.1 求∑∞ n=1 P（n）x n的和函数，其中P（n）为n的多项式 220

题型1.6.3.2 求∑∞ n=0 1/Q（n）x n的和函数，其中Q（n）为n的多项式 222

题型1.6.3.3 求∑∞ n=0 P（n）/Q（n） x n的和函数，其中P（n）及Q（n）为n的多项式 224

题型1.6.3.4 求其系数分母为连乘积的幂级数的和函数 225

题型1.6.3.5 求数项级数的和 227

1.6.4 初等函数展为幂级数与简单幂级数求和 227

题型1.6.4.1 初等函数f（x）展为幂级数 227

题型1.6.4.2 求函数f（x）的n阶导数f（n）（x0） 231

题型1.6.4.3 利用幂级数的展开式求数列通项an 231

1.7 常微分方程与差分方程 233

1.7.1 求解一阶线性微分方程 233

题型1.7.1.1 求解变量可分离的微分方程 233

题型1.7.1.2 求解齐次微分方程 233

题型1.7.1.3 求解一阶线性微分方程 234

题型1.7.1.4 求解以x为因变量，y为自变量的一阶微分方程 236

题型1.7.1.5 求以分段函数为非齐次项或系数的一阶微分方程的连续解 237

题型1.7.1.6 求解可化为一阶微分方程的函数方程 238

1.7.2 求解二阶常系数线性微分方程 239

题型1.7.2.1 求解二阶常系数齐次线性微分方程 239

题型1.7.2.2 求解二阶常系数非齐次线性微分方程 240

题型1.7.2.3 变换已知的函数方程或微分方程为新的形式，并求其解 241

题型1.7.2.4 已知线性微分方程，求具有某性质的特解 244

1.7.3 已知特解，反求其二阶常系数线性方程 244

题型1.7.3.1 已知特解，反求其二阶齐次方程 244

题型1.7.3.2 已知特解，反求其二阶非齐次方程 245

1.7.4 微分方程的简单应用 246

题型1.7.4.1 求解与几何量有关的问题 246

题型1.7.4.2 求解简单的经济应用题 246

1.7.5 常系数线性差分方程 248

题型1.7.5.1 求解一阶常系数齐次差分方程 248

题型1.7.5.2 求解一阶非齐次差分方程 248

题型1.7.5.3 求解二阶常系数非齐次差分方程 252

第2篇 线性代数 254

2.1 计算行列式 254

2.1.1 计算数字型行列式 254

题型2.1.1.1 计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式 254

题型2.1.1.2 计算非零元素在三条线上的行列式 256

题型2.1.1.3 计算行（列）和相等的行列式 257

题型2.1.1.4 计算范德蒙行列式 258

题型2.1.1.5 求代数余子式之和的值 259

题型2.1.1.6 计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和 260

题型2.1.1.7 求行列式中含某因子的所有项 260

2.1.2 计算抽象矩阵的行列式 261

题型2.1.2.1 计算由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 261

题型2.1.2.2 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 262

题型2.1.2.3 计算含零子块的四分块矩阵的行列式 263

题型2.1.2.4 证明方阵的行列式等于零 263

2.1.3 克拉默法则的应用 264

2.2 矩阵 267

2.2.1 证明矩阵的可逆性 267

题型2.2.1.1 证明矩阵可逆 267

题型2.2.1.2 证明和（差）矩阵可逆 269

题型2.2.1.3 证明方阵为不可逆矩阵 270

2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 270

2.2.3 求解与伴随矩阵有关的问题 272

题型2.2.3.1 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 272

题型2.2.3.2 求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵 273

题型2.2.3.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 274

题型2.2.3.4 求伴随矩阵 275

题型2.2.3.5 证明伴随矩阵的性质 276

2.2.4 计算方阵高次幂的方法 276

2.2.5 求矩阵的秩 281

题型2.2.5.1 求元素具体给定的矩阵的秩 281

题型2.2.5.2 求抽象矩阵的秩 282

题型2.2.5.3 已知矩阵的秩，求其待定常数 285

2.2.6 分块矩阵乘法运算的应用 286

2.2.7 初等变换与初等矩阵的关系的应用 288

题型2.2.7.1 用初等矩阵表示初等变换 288

题型2.2.7.2 利用初等矩阵的性质计算矩阵 288

题型2.2.7.3 利用矩阵的初等变换性质解题 289

2.2.8 求解矩阵方程 290

题型2.2.8.1 求解含单位矩阵E加项的矩阵方程 290

题型2.2.8.2 求解未知矩阵前或（和）后的系数矩阵可逆的矩阵方程 291

题型2.2.8.3 求解含多个未知矩阵的矩阵方程 292

题型2.2.8.4 已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式 294

2.2.9 求解与矩阵等价的有关问题 294

题型2.2.9.1 判别两矩阵等价 295

题型2.2.9.2 利用矩阵等价的性质求解有关问题 295

2.3 向量 297

2.3.1 判别向量组线性相关、线性无关 297

题型2.3.1.1 用线性相关性定义做选择题、填空题 297

题型2.3.1.2 判别分量已知的向量组的线性相关性 298

题型2.3.1.3 证明几类向量组的线性相关性 300

题型2.3.1.4 已知向量组的线性相关性，求其待定常数 305

2.3.2 判定向量能否由向量组线性表示 306

题型2.3.2.1 判定分量已知的向量能否由向量组线性表示 306

题型2.3.2.2 判断一抽象向量能否由向量组线性表示 307

题型2.3.2.3 判别一向量组可否由另一向量组线性表示 308

2.3.3 两向量组等价的判别方法及常用证法 309

2.3.4 向量组的秩与极大线性无关组的求（证）法 312

题型2.3.4.1 求分量给出的向量组的秩及其极大无关组 312

题型2.3.4.2 将向量用极大线性无关组线性表示 313

题型2.3.4.3 求解（证明）与向量组的秩有关的问题 314

题型2.3.4.4 证一向量组为一极大无关组 316

2.3.5 将线性无关向量组正交规范化 316

2.4 线性方程组 318

2.4.1 判定线性方程组解的情况 318

题型2.4.1.1 判定齐次线性方程组解的情况 318

题型2.4.1.2 判定非齐次线性方程组解的情况 321

2.4.2 由其解反求方程组或其参数 322

题型2.4.2.1 已知AX=0的解的情况，反求A中参数 322

题型2.4.2.2 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数 323

题型2.4.2.3 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵 324

2.4.3 证明一组向量为基础解系 325

2.4.4 基础解系和特解的简便求法 327

2.4.5 求解含参数的线性方程组 328

题型2.4.5.1 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组 328

题型2.4.5.2 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组 333

题型2.4.5.3 求解参数仅出现在常数项的线性方程组 333

题型2.4.5.4 求解通解满足一定条件的含参数的方程组 334

题型2.4.5.5 求解有无穷多解的矩阵方程 335

2.4.6 求抽象线性方程组的通解 337

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解 337

题型2.4.6.2 已知AX=b的特解，求其通解 338

题型2.4.6.3 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解 339

2.4.7 求两线性方程组的非零公共解 340

题型2.4.7.1 求两齐次线性方程组的非零公共解 340

题型2.4.7.2 证明两齐次线性方程组有非零公共解 342

题型2.4.7.3 讨论两方程组同解的有关问题 342

2.5 矩阵的特征值、特征向量 344

2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量 344

题型2.5.1.1 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量 344

题型2.5.1.2 求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量 346

2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵 348

题型2.5.2.1 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵的待定常数 348

题型2.5.2.2 已知特征值、特征向量，反求其矩阵 350

2.5.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量 351

2.5.4 判别或证明矩阵是否可对角化 353

题型2.5.4.1 判别元素给定的矩阵是否可对角化 353

题型2.5.4.2 判别或证明含重特征值的矩阵是否可对角化 354

题型2.5.4.3 判别或证明满足抽象矩阵等式的矩阵是否可对角化 355

2.5.5 相似矩阵的判别及其性质的简单应用 356

题型2.5.5.1 判定两矩阵是否相似 356

题型2.5.5.2 相似矩阵性质的简单应用 358

2.5.6 与两矩阵相似有关的计算 360

题型2.5.6.1 n阶矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值） 360

题型2.5.6.2 求n阶实对称矩阵A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1 AQ=Q T AQ=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值） 361

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵A 363

题型2.5.6.4 已知矩阵A和可逆阵P，使P-1AP=B，求方阵B 364

题型2.5.6.5 计算相似矩阵的高次幂（详见2.2.4节） 364

2.6 二次型 365

2.6.1 求二次型的矩阵及其秩 365

题型2.6.1.1 用矩阵形式表示二次型 365

题型2.6.1.2 求二次型的秩 366

2.6.2 化标准形及由标准形确定二次型 367

题型2.6.2.1 化二次型为标准形、规范形 368

题型2.6.2.2 将实对称矩阵合同对角化 374

题型2.6.2.3 由二次型的标准形确定该二次型 376

2.6.3 判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性 376

题型2.6.3.1 判别或证明具体给定的二次型或其矩阵的正定性 376

题型2.6.3.2 判别或证明抽象的二次型（实对称矩阵）的正定性 377

题型2.6.3.3 确定参数值或其取值范围使二次型或其矩阵正定 380

2.6.4 判别两矩阵是否合同 381

题型2.6.4.1 判别（证明）两实对称矩阵合同 381

题型2.6.4.2 判别（证明）两矩阵不合同 382

2.6.5 讨论矩阵等价、相似及合同的关系 383

第3篇 概率论与数理统计 386

3.1 随机事件和概率 386

3.1.1 随机事件间的关系及其运算 386

题型3.1.1.1 描绘随机试验的样本空间 386

题型3.1.1.2 用式子表示事件关系 386

题型3.1.1.3 利用事件运算的性质或图示法简化事件算式 387

题型3.1.1.4 求满足一定条件的事件关系 387

3.1.2 直接计算随机事件的概率 388

题型3.1.2.1 计算古典型概率 388

题型3.1.2.2 计算几何型概率 390

题型3.1.2.3 计算伯努利概型中事件的概率 391

3.1.3 间接计算随机事件的概率 392

题型3.1.3.1 计算和、差、积事件的概率 392

题型3.1.3.2 求与包含关系有关的事件的概率 395

题型3.1.3.3 计算与互斥事件有关的事件的概率 395

题型3.1.3.4 求与条件概率有关的事件的概率 396

题型3.1.3.5 求与他事件有关的单个事件的概率 396

题型3.1.3.6 判别或证明事件概率不等式 397

3.1.4 几个计算概率公式的实际应用 397

题型3.1.4.1 用加法公式求解实际应用题 397

题型3.1.4.2 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题 398

题型3.1.4.3 用全概率公式和逆概率（贝叶斯）公式求解实际应用题 399

题型3.1.4.4 利用抽签原理计算事件概率 402

3.1.5 判别事件的独立性 402

题型3.1.5.1 判别（证明）两事件相互独立 402

题型3.1.5.2 判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立 405

3.2 一维随机变量及其分布 407

3.2.1 分布列、概率密度及分布函数性质的应用 407

题型3.2.1.1 判别分布列、概率密度及分布函数 408

题型3.2.1.2 利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件 410

题型3.2.1.3 求随机变量落在某点或某区间上的概率 411

3.2.2 求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数 412

题型3.2.2.1 求概率分布（分布律）及分布函数 412

题型3.2.2.2 求连续型或混合型随机变量的分布函数或其取值 414

题型3.2.2.3 求概率密度 417

3.2.3 利用常用分布计算事件的概率 418

题型3.2.3.1 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率 418

题型3.2.3.2 利用超几何分布计算事件的概率 420

题型3.2.3.3 利用几何分布计算事件的概率 421

题型3.2.3.4 利用泊松分布计算事件的概率 421

题型3.2.3.5 利用均匀分布计算事件的概率 422

题型3.2.3.6 利用指数分布计算事件的概率 423

题型3.2.3.7 利用正态分布计算事件的概率 424

题型3.2.3.8 利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率 427

3.2.4 求随机变量函数的分布 428

题型3.2.4.1 求离散型随机变量函数的概率分布 428

题型3.2.4.2 求连续型随机变量函数的分布 429

题型3.2.4.3 讨论随机变量函数分布的性质 433

3.3 二维随机变量的联合概率分布 434

3.3.1 求二维随机变量的分布 434

题型3.3.1.1 求二维离散型随机变量的联合分布律 434

题型3.3.1.2 求二维随机变量的边缘分布 438

题型3.3.1.3 由联合分布、边缘分布求条件分布 441

题型3.3.1.4 由条件分布反求联合分布、边缘分布 443

题型3.3.1.5 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数 445

3.3.2 随机变量的独立性 446

题型3.3.2.1 判别两随机变量的独立性 446

题型3.3.2.2 利用独立性确定联合分布中的待定常数 450

3.3.3 计算二维随机变量取值的概率 451

题型3.3.3.1 计算两离散型随机变量运算后取值的概率 451

题型3.3.3.2 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率 453

题型3.3.3.3 求与max｛X，Y｝或（和）min｛X，Y｝有关的概率 454

题型3.3.3.4 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率 455

题型3.3.3.5 已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布 455

3.3.4 求二维随机变量函数的分布 455

题型3.3.4.1 已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律 455

题型3.3.4.2 求两连续型随机变量的简单函数的分布 457

题型3.3.4.3 求分布连续型和离散型的两随机变量的简单函数的分布 461

题型3.3.4.4 已知X，Y的分布，求max｛X，Y｝与min｛X，Y｝的分布 461

3.4 随机变量的数字特征 464

3.4.1 求一维随机变量的数字特征 464

题型3.4.1.1 求随机变量的数学期望与方差 464

题型3.4.1.2 求随机变量函数的数学期望与方差 469

题型3.4.1.3 计算随机变量的矩 472

3.4.2 求二维随机变量的数字特征 472

题型3.4.2.1 求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差 472

题型3.4.2.2 计算协方差和相关系数 478

3.4.3 计算两类分布的数字特征 486

题型3.4.3.1 计算二维正态分布的数字特征 486

题型3.4.3.2 计算Z=max｛X，Y｝或（和）W=min｛X，Y｝的数字特征 487

3.4.4 讨论随机变量相关性与独立性的关系 490

题型3.4.4.1 确定两随机变量相关与不相关 490

题型3.4.4.2 讨论相关性与独立性的关系 491

3.4.5 已知数字特征，求分布中的待定常数 492

3.4.6 求解两类综合应用题型 493

题型3.4.6.1 求解与数字特征有关的实际应用题 494

题型3.4.6.2 求解概率论与其他数学分支的综合应用题 496

3.5 大数定律和中心极限定理 498

3.5.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率 498

3.5.2 大数定律成立的条件和结论 500

题型3.5.2.1 利用三个大数定律成立的条件解题 502

题型3.5.2.2 求随机变量序列依概率的收敛值 504

3.5.3 两个中心极限定理的简单应用 504

题型3.5.3.1 利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件的概率 505

题型3.5.3.2 已知随机变量取值的概率，估计取值范围 505

题型3.5.3.3 应用列维林德伯格中心极限定理的条件和结论解题 506

题型3.5.3.4 近似计算n个随机变量之和取值的概率 507

题型3.5.3.5 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n 508

3.6 数理统计初步 509

3.6.1 求解统计量分布有关的问题 509

题型3.6.1.1 求解与统计量分布有关的基本概念问题 509

题型3.6.1.2 求统计量的分布及其分布参数 511

题型3.6.1.3 求统计量取值的概率 517

题型3.6.1.4 已知统计量取值的概率，反求取值范围 519

题型3.6.1.5 求统计量的数字特征 520

题型3.6.1.6 求经验分布函数 522

3.6.2 参数估计 523

题型3.6.2.1 求总体分布中未知参数的矩估计量（值） 523

题型3.6.2.2 求未知参数的极（最）大似然估计量（值） 526

附录一 经典常考题型同步测试题 531

附录二 习题答案与提示 589