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第1章 函数、极限和连续 1

考研大纲要求与重点导学 1

必会基本内容 2

一、函数 2

二、极限 6

三、极限的计算 9

四、函数的连续性 11

考试题型与解析 13

题型一：函数概念及其性质 13

题型二：极限定义与性质 14

题型三：函数极限的计算 15

题型四：无穷小及无穷小等价 20

题型五：数列极限的计算 21

题型六：函数的连续性相关问题 23

自测题精选 26

第2章 导数与微分的概念和计算 30

考研大纲要求与重点导学 30

必会基本内容 30

一、概念 30

二、计算 32

考试题型与解析 34

题型一：导数与微分的定义 34

题型二：导数的几何意义 37

题型三：隐函数的导数计算 38

题型四：反函数、参数方程所确定的函数求导 39

题型五：复合函数的导数计算 40

题型六：分段函数的导数计算及连续性问题 41

题型七：高阶求导 42

自测题精选 43

第3章 导数的应用与微分中值定理 47

考研大纲要求与重点导学 47

必会基本内容 47

一、导数的应用 47

二、微分中值定理 50

考试题型与解析 52

题型一：单调性和极值 52

题型二：凹凸性和拐点 53

题型三：渐近线问题 54

题型四：不等式证明与方程根的问题 55

题型五：中值定理证明题 56

题型六：曲率相关考点（数学一、数学二） 62

自测题精选 63

第4章 一元函数积分学的概念与计算 66

考研大纲要求与重点导学 66

必会基本内容 66

一、（不）定积分学的概念 66

二、反常积分 70

三、一元函数积分学的计算 72

考试题型与解析 77

题型一：不定积分的概念和性质 77

题型二：定积分的概念和性质 78

题型三：不定积分的计算 79

题型四：定积分的计算 83

题型五：变限积分相关题型 85

题型六：反常积分的计算及敛散性的判定 86

题型七：积分的证明题型 87

自测题精选 89

第5章 一元函数积分学的应用 93

考研大纲要求与重点导学 93

必会基本内容 93

一、数学一、数学二、数学三公共部分 93

二、一元函数积分学的几何应用（数学一、数学二） 95

三、一元函数积分学的物理应用（数学一、数学二） 97

四、一元函数积分学在经济学中的应用（数学三） 97

考试题型与解析 98

题型一：用定积分计算平面图形的面积 98

题型二：用定积分计算旋转体的体积 98

题型三：弧长计算（数学一、数学二） 100

题型四：旋转曲面表面积（数学一、数学二） 100

题型五：平行截面面积为已知的立体体积（数学一、数学二） 102

题型六：一元函数积分学的物理应用（数学一、数学二） 102

自测题精选 104

第6章 多元函数微分学 108

考研大纲要求与重点导学 108

必会基本内容 109

一、多元函数微分学的概念 109

二、多元函数微分学的计算 111

三、多元函数微分学的应用问题 112

四、多元函数微分学的几何应用（数学一） 114

考试题型与解析 115

题型一：多元函数微分学基本概念题型 115

题型二：抽象复合函数的偏导数和全微分问题 117

题型三：隐函数的偏导数和全微分问题 120

题型四：其他偏导数和全微分问题 122

题型五：普通极值问题 123

题型六：条件极值（最值）问题 125

题型七：闭区域（边界）上的最值问题 127

题型八：多元函数微分学的几何应用（数学一） 127

自测题精选 128

第7章 二重积分的概念和计算 132

考研大纲要求与重点导学 132

必会基本内容 132

一、二重积分的概念与性质 132

二、二重积分的计算 134

考试题型与解析 137

题型一：二重积分的概念与性质相关题型 137

题型二：直角坐标系下的二重积分的计算 139

题型三：直角坐标系下交换积分次序 140

题型四：极坐标系下的二重积分的计算 140

题型五：直角坐标系与极坐标系互化 142

题型六：二重积分的综合考查 144

自测题精选 145

第8章 常微分方程 148

考研大纲要求与重点导学 148

必会基本内容 149

一、微分方程的基本知识 149

二、微分方程的解法 149

三、高阶微分方程解的结构 151

考试题型与解析 152

题型一：一阶微分方程的求解 152

题型二：二阶可降阶微分方程（数学一、数学二） 155

题型三：二阶常系数微分方程 156

题型四：高阶线性微分方程解的结构 157

题型五：已知通解反写方程 158

题型六：伯努利方程（数学一） 158

题型七：欧拉方程（数学一） 158

题型八：积分方程问题 159

题型九：微分方程的应用 160

自测题精选 162

第9章 数学三专题 164

考研大纲要求与重点导学 164

必会基本内容 164

一、增长函数 164

二、需要研究的五个基本函数 165

三、边际分析 165

四、弹性分析 165

五、一阶常系数差分方程 166

考试题型与解析 166

题型一：一元函数微分学在经济学中的应用 166

题型二：一元函数积分学在经济学中的应用 168

题型三：多元函数微分学在经济学中的应用 168

题型四：常微分方程和差分方程在经济学中的应用 170

题型五：差分方程的求解 170

自测题精选 171

第10章 无穷级数（数学二不要求） 172

考研大纲要求与重点导学 172

必会基本内容 173

一、常数项级数 173

二、幂级数 176

三、傅里叶级数（数学一） 178

考试题型与解析 179

题型一：正项级数敛散性判断 179

题型二、交错级数敛散性判断 181

题型三：任意项级数敛散性判断 182

题型四：幂级数的收敛域（区间、点） 184

题型五：幂级数求和 186

题型六：常数项级数求和 189

题型七：幂级数展开 189

题型八：综合证明题 191

题型九：傅里叶级数（数学一） 191

自测题精选 193

第11章 向量代数与空间解析几何（数学一） 196

考研大纲要求与重点导学 196

必会基本内容 196

一、向量代数 196

二、空间解析几何 198

三、空间曲面及其方程 199

考试题型与解析 201

题型一：向量运算 201

题型二：直线及平面的方程 202

题型三：位置关系及距离问题 204

题型四：旋转曲面问题 204

题型五：投影问题 205

自测题精选 206

第12章 三重积分及重积分的应用（数学一） 209

考研大纲要求与重点导学 209

必会基本内容 209

一、三重积分的概念 209

二、三重积分的计算 210

三、重积分的应用 211

考试题型与解析 212

题型一：直角坐标系下的三重积分的计算 212

题型二：柱面坐标系下的三重积分的计算 215

题型三：球面坐标计算三重积分 215

题型四：重积分的应用 216

第13章 曲线积分与曲面积分（数学一） 219

考研大纲要求与重点导学 219

必会基本内容 219

一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 219

二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 220

三、格林公式及其应用 222

四、第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 223

五、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 224

六、高斯公式、通量与散度 225

七、斯托克斯公式、环流量与旋度 226

考试题型与解析 226

题型一：第一类曲线积分 226

题型二：平面第二类曲线积分 227

题型三：空间第二类曲线积分 228

题型四：第一类曲面积分 229

题型五：第二类曲面积分 230

题型六：散度、旋度 231

题型七：曲线曲面积分的应用 232

附录1基本初等函数性质及其图像 233

附录2常用三角函数公式汇总 239

附录3小侯七谈考研数学备考攻略 242