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第一章 数列与函数的极限 1

1.1 数列的极限 1

1.1.1 数列 1

1.1.2 数列的极限 1

1.1.3 验证数列极限 3

1.1.4 收敛数列的性质 4

1.1.5 数列收敛准则 6

习题1-1 7

1.2 函数的极限 8

1.2.1 自变量趋于有限值时函数的极限 8

1.2.2 自变量趋于无穷大时函数的极限 10

1.2.3 函数极限的性质 11

习题1-2 11

1.3 无穷小与无穷大 12

1.3.1 无穷小量 12

1.3.2 无穷大量 12

习题1-3 13

1.4 极限的运算法则 14

1.4.1 极限的四则运算法则 14

1.4.2 两个重要极限 15

1.4.3 无穷小的比较 16

习题1-4 17

第二章 函数的连续性 18

2.1 连续性概念 18

2.1.1 函数在一点的连续性 18

2.1.2 间断点及其分类 19

2.1.3 区间上的连续函数 20

习题2-1 21

2.2 连续函数的性质与运算 21

2.2.1 连续函数的局部性质与四则运算 21

2.2.2 复合函数的连续性 22

2.2.3 闭区间上连续函数的性质 22

2.2.4 反函数的连续性 23

习题2-2 23

2.3 初等函数的连续性 24

2.3.1 基本初等函数的连续性 24

2.3.2 初等函数的连续性 24

习题2-3 25

第三章 导数与微分 26

3.1 导数的概念 26

3.1.1 变化率问题举例 26

3.1.2 导数的定义 27

3.1.3 导数的几何意义 30

3.1.4 单侧导数 32

3.1.5 可导与连续的关系 33

习题3-1 34

3.2 求导法则 35

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 35

3.2.2 反函数的求导法则 38

3.2.3 复合函数的求导法则 41

3.2.4 初等函数的导数 43

3.2.5 隐函数的导数 44

3.2.6 参数方程所表示的函数的导数 45

3.2.7 高阶导数 46

习题3-2 48

3.3 微分 50

3.3.1 微分的定义 50

3.3.2 微分的几何意义 52

3.3.3 微分法则与基本初等函数的微分公式 52

3.3.4 一阶微分形式的不变性 53

3.3.5 微分在近似计算中的应用 53

习题3-3 56

第四章 微分中值定理与导数的应用 57

4.1 中值定理 57

4.1.1 罗尔定理 57

4.1.2 拉格朗日中值定理 59

4.1.3 柯西中值定理 61

4.1.4 泰勒（Taylor）公式 62

习题4-1 65

4.2 洛必达法则 66

4.2.1 0/0型未定式 67

4.2.2 ∞/∞型未定式 68

4.2.3 其他类型的未定式的极限 70

习题4-2 71

4.3 函数的单调性与极值 72

4.3.1 函数单调性的判别法 72

4.3.2 函数的极值 75

4.3.3 最大值与最小值 80

习题4-3 83

4.4 曲线的凹凸性与拐点 87

4.4.1 曲线的凹凸性 87

4.4.2 拐点 89

4.4.3 曲线的渐近线 92

4.4.4 函数图像的讨论 93

习题4-4 96

第五章 不定积分 98

5.1 原函数与不定积分 98

5.1.1 原函数与不定积分的概念 98

5.1.2 不定积分的基本公式 100

5.1.3 不定积分的性质 101

习题5-1 103

5.2 换元积分法与分部积分法 103

5.2.1 不定积分的换元积分法 103

5.2.2 不定积分的分部积分法 109

习题5-2 111

5.3 有理函数的积分 112

5.3.1 有理函数的分解 112

5.3.2 有理函数的积分 115

习题5-3 119

5.4 三角函数有理式与简单无理函数的积分 119

5.4.1 三角函数有理式的积分 119

5.4.2 某些无理函数的积分 121

习题5-4 124

第六章 定积分及其应用 125

6.1 定积分的概念和性质 125

6.1.1 定积分的概念 125

6.1.2 定积分的性质 127

习题6-1 130

6.2 微积分学基本定理 130

习题6-2 132

6.3 定积分的计算 133

6.3.1 定积分的换元积分法 133

6.3.2 定积分的分部积分法 134

习题6-3 135

6.4 定积分的应用 136

6.4.1 定积分的几何应用 136

6.4.2 定积分的物理应用 144

习题6-4 149

第七章 级数理论与广义积分 151

7.1 数项级数 151

7.1.1 数项级数的有关概念 151

7.1.2 级数的基本性质 154

7.1.3 正项级数 156

7.1.4 任意项级数 161

习题7-1 165

7.2 函数项级数 167

7.2.1 幂级数的概念及其收敛性 168

7.2.2 幂级数的性质 171

7.2.3 函数的幂级数展开式 173

7.2.4 幂级数的应用 177

7.2.5 复变量的指数函数与欧拉公式 179

习题7-2 180

7.3 广义积分 182

7.3.1 无穷积分 182

7.3.2 瑕积分 184

7.3.3 T函数与B函数 186

习题7-3 188

第八章 常微分方程 189

8.1 微分方程的基本概念 189

8.1.1 例子 189

8.1.2 微分方程的基本概念 190

习题8-1 192

8.2 可分离变量的微分方程与齐次微分方程 192

8.2.1 可分离变量的微分方程 192

8.2.2 齐次微分方程 194

习题8-2 195

8.3 一阶线性微分方程 195

8.3.1 一阶线性微分方程 195

8.3.2 伯努利方程 198

习题8-3 199

8.4 可降阶的高阶微分方程 200

8.4.1 y（n）=f（x）型的微分方程 200

8.4.2 y”= f（x，y’）型的微分方程 201

8.4.3 y”=f（y，y’）型的微分方程 202

习题8-4 203

8.5 二阶线性常微分方程 203

8.5.1 二阶线性常微分方程解的结构 203

8.5.2 二阶线性常系数齐次微分方程的解法 206

8.5.3 二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 207

8.5.4 二阶线性常系数微分方程应用举例 210

习题8-5 211

第九章 行列式 212

9.1 二阶与三阶行列式 212

9.1.1 二阶行列式 212

9.1.2 三阶行列式 213

习题9-1 215

9.2 n阶行列式 216

9.2.1 n阶行列式的定义 216

9.2.2 n阶行列式的性质与计算 218

9.2.3 行列式按行（列）展开 222

9.2.4 行列式的完全展开式 224

9.2.5 克莱姆法则 226

习题9-2 227